BF

- (BF + BF') = -(ip~b — c) = - = ]ia.

La seconde tangente commune intérieure KK' passe parle point A' où la première rencontre la bissectrice AH' de l'angle BAC ; elle est d'ailleurs symétrique de BC par rapport à cette bissectrice, c'est-à-dire antiparallèle à BG par rapport à l'angle BAG

Remarquons enfin que les quatre points I, I', A, A', étant harmoniques, leurs projections sur BG forment aussi un système harmonique FF'aA', de sorte qu'on a

(i) rtF^=: «F'^ = «a.aA'.

Ceci posé, formons la figure inverse des cercles J, I', et du cercle de?

neuf points, en prenant pour origine le point a et pour constante d'in-

version la quantité «F . Gette quantité étant égale à la puissance du

point a par rapport à l'un ou l'autre des cercles I et T, chacun de ce?

cercles coïncidera avec son inverse. Quant au cercle des neuf points,

puisqu'il passe par l'origine «, il aura pour inverse une droite. Cette

droite passera par A', puisqu'on vertu de l'égalité (i) le point A' est

l'inverse de a; elle devra en outre faire avec la direction BG un angle

égal à celui que la tangente en a au cercle des neuf points fait avec cette

même direction. En d'autres termes, la droite inverse du cercle de?

neuf points sera la droite menée par A', antiparallèlement à BG par

LIVUE ni. — LES FIGLUIKS SE.tIBLADLES. . SoQ

rapport à l'angle BAC, c'est-à-dire la seconde tangente commune intérieure KK' aux deux cercles I et T. Dans la figure primitive, le cercle des neuf points touche donc les cercles I et F; et l'on verrait de même que ce cercle touche les deux autres cercles exinscrits.

INVERSEURS DE PEAUCELLIER ET DE HART (/%. 2476, 2477).

40o. Soit ABCD un losange articulé, c'est-à-dire formé de tiges rigides reliées à leurs extrémités de façon que leurs inclinaisons mutuelles puissent varier; soient de plus OB et OD deux autres tiges, égales entre elles et articulées en 0, B, D. Tel est le système à six tiges de M. Peaucellier; on lui donne le nom à' inverseur, parce que, lorsque l'on déforme le système, le point 0 restant fixe, les points k et Ça décrivent des lignes inverses, 0 étant le centre d'inversion. En effet, pour toute position de l'appareil, puisque chacun des points 0, A, G reste à égales distances des points B et D, les trois points 0, A, G sont en ligne droite; d'ailleurs, si l'on imagine le cercle ayant B pour centre et BA pour rayon, puisque la distance OB et le rayon BA restent constants, la

puissance OB — BA du point fixe 0 par rapport à ce cercle mobile reste aussi constante; mais cette puissance s'exprime aussi par le produit OA.OG ; donc A et G décrivent des lignes inverses l'une de l'autre D'après cela, si l'on fait décrire au point G un cercle quelconque, le point A décrira aussi un cercle. Mais si le cercle que l'on fait décrire au point G passe par le point fixe 0, le point A décrira une ligne droite. G'est la première solution rigoureuse qu'on ait donnée du problème de Watt, c'est-à-dire de la transformation d'un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Depuis, M. Hart a résolu le même problème è

Fig. 247

aux

l'aide de quatre liges seulement; ces tiges forment les côtés é GCi, DDi, et les diagonales GDi et CiD d'un trapèze isocèle articulé. Soient A, Pi, P trois points divisant respectivement les tiges GGi, CiD et GDi dans un même rapport; si le système se déforme, A restant fixe, les points P et Pi décrivent des lignes inverses, A étant le centre d'inversion. En effet, il est clair que, dans toute position du système, les couples GD et GiDj, APi et GD, AP et GiDi conservent leur parai-

OlO GÉOMÉTRIE PLANE.

lélisme, en sorte que A, Pj et P restent en ligne droite. On a d'ailleurs

AP CA APi C,A

( d'où

CiDi ce,' CD CGi'

AP.APi = £4^.GD.C,D,;

il suffît dès lors de prouver que le produit GD.CiDi est constant. Or, si l'on désigne par 0 le milieu de Ci Di et^ par. E la projection de C sur GiDi, on voit que le produit en question est égal à 4OD1.OE ou à

CDi — CCi , qui est une quantité constante.