LIVRE III. — LES FIGUtUîS SEMBLABLES. Soj

ABC. Les droites On et Ap sont donc égales et, comme elles sont parallèles, pa est égale et parallèle à OA. Par suite, pa n'est donc autre

chose que pM prolongée d'une quantité Ma égale à joM, et le cercle (M) passe par a. On verrait de même qu'il passe par ^ et c.

3° Enfin, puisque pa est un diamètre du cercle (M) et que l'angle paa est droit, le cercle (M) passe par a. On verrait de même qu'il passe par p et y.

Cette propriété, qui a fait donner au cercle (M) le nom de cercle des neuf points, est due à Eiiler.

On peut aisément trouver les tangentes aux neuf points.

La tangente «E au point a est perpendiculaire au rayon M^ ou à sa parallèle OA : elle est donc parallèle à la tangente AT au cercle circonscrit; mais cette tangente est antiparallèle à BG par rapport à l'angle BAC, puisque les angles TAB, ACB, ont la même mesure. Par conséquent, la tangente «E au cercle des neuf points au point a est antiparallèle à BC par rapport à l'angle BAC.

Au point /?, la tangente est parallèle à «E et, au point a, la tangente ! fait avec la direction CB un angle EaB égal à l'angle E^C que la tangente en a forme avec la direction BC. On connaît ainsi les droites qui touchent le cercle (M) aux neuf points «, h, c, p^ q, r, a, p, y.

Parmi les nombreuses propriétés dont jouit le cercle (M), il importe de remarquer la suivante, due à Feuerbach :

ï Le cercle des neuf points est ta/igent au cercle inscrit et à chacun des cercles exinscrits au triangle ABC {fig. 2475)»

En effet, soient I le centre du cercle inscrit et l' le centre de l'un des cercles exinscrits^ par exemple de celui qui est compris dans l'angle CAB.

Le côté BG est une tangente commune intérieure aux deux cercles l et r, et son milieu a est aussi le milieu de l'intervalle FF' compris entre

Fig. 247,.

SCS deux points de contact; car, en désignant par a, 6, c, les côtés du triangle ABC et par/? son demi-périmètre, on a (161)

et, par suite,