PROBLÈME DE MALFATTI

407. Étant donné un triangle ABC, décrire trois cercles (a), (b), (c), inscrits respectivement dans les angles k^ B, G, <?^ tels que chacun d'eux touche les deux autres.

Trois cercles (<2), (6), (c), considérés deux à deux, donnent lieu à trois couples ayant chacun quatre tangentes communes. Nous dirons que deux tangentes communes sont associées, lorsqu'elles seront relatives à un même couple de cercles et qu'elles seront en outre de même espèce, c'est-à-dire toutes deux extérieures ou toutes deux mtérieures.

Cela posé, nous établirons d'abord, pour plus de clarté, deux lemmes préliminaires.

1° Si deux tangentes extérieures dcc, d^, relatives à deux couples différents (b) et (c), (b) et (a), et une tangente commune intérieure dh, relative autroisième couple (a) et (c), concourent en un même point d, les tangentes aq, yq^ pq, qui leur sont respectivement associées, concourent aussi en un même point q (Jig. 248).

En effet, par le point «7, intersection de uq et de y<7, imaginons qu'on mène la seconde tangente qp au cercle (c); il suffit de montrer que cette droite qp touche le cercle (rt).Or, les quadrilatères c?a^Y> dhqa, étant circonscrits, le premier au cercle (b), le second au cercle (c), on a

(loL -\- d^( = q^( -h q'x, r/a -h q/i — dh -+- qoL,

d'où, par soustraction,

d-^ -h clh = q^ -{- qh.

Le quadrilatère cl^qh est donc cireonscriptible à un cercle; et, comme trois de ses côtés touchent déjà le cercle («), le quatrième côlé qli doit toucher ce môme cercle.

Fier. 248.

2" Si deux cercles (0) et (0') déterminent sur une sécante AB' deux cordes égales AB, A'B', ces cercles seront vus sous des angles égaux du point dq concours M des tangentes MA, MB', menées aux extrémités de la sécante {fig. 2481).

En effet, soient F, P, F', les projections des points 0, M, 0', sur la sécante AB'. Les triangles AMP, AOF, étant semblables, ainsi que les triangles MPB' et B'O'F', on a