LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

sance de B' par rapport au cercle (0). Inversement, si la transversale AB' est telle que les tangentes AK et B'L soient égales, les cordes AB et A'B' le seront elles-mêmes.

et la

Arrivons maintenant au problème de Malfatti.

Soient D, E, F {fi^\ 2482), les points de contact des trois cercles cherchés (a), (^), (c). Les tangentes en D, E, F, étant les axes radicaux de ces cercles pris deux à deux, concourent au centre radical L de ces trois cercles. Soient G et H les points où le côté BG du triangle ABC touche {b) et (c). On a évidemment

MQ — MR = GQ — RH = QE — RF = LQ — I^,

et la comparaison des membres extrêmes prouve que le point M est le point où le côté RQ touche le cercle inscrit dans le triangle RLQ (161). Nous désignerons ce dernier cercle par {a'), et nous représenterons par {b') et (c') les cercles analogues qui touchent respectivement les côtés AG et AB aux points N et P.

Si l'on considère alors le système des trois cercles (a'), (è'), (c'), les tangentes communes RN, SM, PQ, concourant au point L, il résulte du premier lemme que la seconde tangente commune intérieure à (a') et à (Z>') passe par le point de concours G des tangentes communes extérieures BG et AG.

Les relations

MD = MH = TF, DU = NK = NF,

donnant, par addition, MU = TN, la remarque qui termine le second lemme prouve que les cercles (a') et {b') doivent intercepter sur MN deux cordes égales. Donc, en vertu de ce même lemme, la tangente

3l4 GÉOMÉTRIE PLANE.

commune intérieure aux deux cercles («') et (^'), qui passe par le sommet G, est la bissectrice de l'angle G.

De là, on conclut le tracé suivant : I étant le centre cla cercle inscrit dans le triangle donné ABG, inscrivez un cercle dans chacun des triangles lAB, IBG, IGA, puis menez les secondes tangentes communes intérieures de ces trois cercles pris deux à deux; on obtient ainsi des triangles ayant chacun pour côtés une de ces tangentes et deux côtés du triangle ABC : les cercles inscrits dans ces nouveaux triangles sont les cercles chercliés.

Fig. 2/i8,.

Gette règle a été donnée en 1826 par Steiner, mais sans démonstration proprement dite, l'éminent géomètre s'étant borné à indiquer les théorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux, . . . , qui permettraient de parvenir au tracé indiqué.

Nous avons adopté ici la démonstration de M. Hart, développée par M. Desboves dans ses Questions de Géométrie.