LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

Une môme droite pouvant être décrite dans deux sens différents détermine deux semi-droites distinctes que l'on appelle semi-droites opposées.

Un cercle étant donné, on peut supposer également qu'il soit décrit dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le nom ÙQ cycle ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la circonférence du cycle.

Un même cercle pouvant être décrit dans deux sens différents détermine deux cycles distincts que l'on appelle cycles opposés.

En un point A d'un cycle, la tangente doit être considérée, le long de l'élément infiniment petit commun au cycle, comme décrite dans le même sens

que le cycle ; la tangente au point A est donc une semi-droite bien détermi née De là résultent les conséquences suivantes :

I ° On ne peut mener à un cycle donné qu 'une tangente parallèle à une semi-droite donnée {fig- 249)-

II est clair, en effet, qu'on peut mener au cercle déterminé par le cycle deux tangentes parallèles à la droite déterminée par la semi-droite donnée; mais, si l'on désigne par A et par A' les points de contact, on voit que les tangentes au cycle en ces points ont des directions opposées ; une seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droite donnée.

1° Deux cycles donnés ont deux tangentes communes et n*en ont que deux.

Sur la,^^. 2491 > on voit que les semi-droites AA'et B'B sont tangentes à la fois aux deux cycles K et K'. Les cercles déterminés par ces cycles ont quatre tangentes communes dont deux sont précisément AA' et BB' ; si l'on considère une quelconque des deux autres, par exemple CC, il est aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite.

Le point de rencontre P des deux tangentes communes est le centre de similitude des deux cycles.

Ce centre de similitude est unique ( *).

(*) Une proposition démontrée précédemment peut, par suite de cette définition, s'énoncer de la façon suivante :

Etant donnés trois cycles, les trois centres de similitude de ces cycles prif

La distance AA', comprise sur l'une des tangentes communes entre les points de contact avec les cycles, est la distance tangentielle des cycles \ elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais non en signe.

Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans lo cas contraire.

Far suite, en désignant par T la distance tangentielle des deux cycles

l'ig. 2/i9,-

dont les centres sont 0 et 0', la 7%-. 2491 montre immédiatement qu'en désignant par D la distance des centres, on a la relation

T2=D2-(R — ll')2.

Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance tangentielle de deux cycles; en particulier, si nous considérons deux cycles opposes et si le rayon d'un de ces cycles est R, l'autre est — R ; d'ailleurs, la distance de leurs centres est nulle; on a donc, dans ce cas,

Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, le cycle qui a pour centre ce point et qui touche la semi-droite est bien déterminé; la distance du point P à la semi-droite est le rayon de ce cycle; elle est donc déterminée en grandeur et en signe.

Un point doit être considéré comme un cycle d'un rayon infiniment petit; toutes les semi-droites passant par ce point doivent être considérées comme tangentes à ce cycle.

Étant données deux semi-droites quelconques, on peut construire une infinité de cycles qui leur soient tangents; les centres de ces cycles sont situés sur une môme droite que l'on appellera la bissectrice des semidroites.

Si, le point P d'intersection des semi-droites restant fixe, l'angle que font ces semi-droites diminue indéfiniment en sorte qu'elles tendent toutes les deux à se confondre avec leur bissectrice, les rayons de tous les cycles inscrits diminuent indéfiniment et, à la limite, ces cycles se réduisent à des points, tandis que les deux semi-droites deviennent doux semi-droites opposées.

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On voit ainsi que les cycles qui touchent deux semi-droites opposées sont les divers points de la droite qu'elles déterminent.

Il résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deux à deux.