MÉTHODE DE TRANSFORMATION

409. Considérons une droite fixe û ; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point 0 et, sur la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la droite Q, prenons un point arbitraire P (Jig. 249,).

Cela posé, à chaque semi-droite NM du plan, on peut faire correspondre une autre semi-droite de la façon suivante. Menons au cycle R la tangente AB parallèle à NM, joignons le point de contact A au point P, et, au

Fig. 2i92.

point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A'B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe £1, une semi-droite N'M parallèle à A'B'.

N'M correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M; on dit que ces deux semi-droites sont réciproques,

11 résulte évidemment de ce qui précède que :

!* Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite D. que l'on appelle l'axe de transformation ;

•2° Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.

Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles- Kômes. II y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font des angles égaux avec l'axe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point P est extérieur au cycle K.

3i8 GÉOMÉTRIE PLANE.

THÉORÈME

410. Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tan* gents à un même cycle.

Soient, en effet, £1 l'axe de transformation, NM et MN' deux semidroites réciproques, RS une semi-droite quelconque du plan (fg. 9.493).

Construisons le cycle K qui touche les semi-droites NM, MN' et RS; menons la droite NN' qui joint les points de contact de NM et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée

du point 0 sur l'axe û. Il est clair, d'après ce qui précède, que la transformation, qui a pour axe û et dans laquelle NM correspond à MN', peut être définie au moyen du cycle K et du point P. Si, maintenant, on remarque que P est le pôle de la droite Q. relativement au cycle K, on voit que la tangente S'R est la réciproque de RS; les deux couples de semidroites réciproques NM elMN', RS et S'R sont deux tangentes au cycle K, ce qui démontre la proposition énoncée.

La transformation par semi-droites réciproques est ainsi caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux semi-droites réciproques se coupent sur l'axe de transformation; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle {}),

Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne l'axe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque A, que l'on construise le cycle tangent à D, D' et A, et que, par le point M où A coupe l'axe do transformation, on mène la deuxièrpe tangente au cycle, cette taiîirentc sera la semi-droite cherchée.

(*) La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes : , Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pôle de transformation ;

Deux couples de points réciproques sont situés sur un même cerclt.