LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

Soit K le cycle donné ; de son centre 0 abaissons une perpendiculaire OP sur Taxe de transformation et de son pied P comme centre décrivons le cercle qui coupe orthogonalement le cycle donné. Ce cercle coupe la droite OP en deux points A et B ; on prouvera aisément qu'il existe une ïansformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques

Fig. 249,.

les semi-droites qui se croisent au point A. Il existe également une autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du cycle K(/^-. 2495).

Une transformation étant définie par l'axe de transformation il et par le module a, il existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points; ils sont définis par la relation

Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnel' lement à la distance de leur centre à Vaxe ; elle présente une grande importance dans l'application de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.

THÉORÈME

412. La distance tangenlielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants.

Considérons, en effet, deux cycles; désignons respectivement par R etr leurs rayons, par D et ^ les distances de leur centre à l'axe de transformation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangentielle; on aura évidemment

T«=;^2-+-(D-rf)»- (R-r)2.

Soient de môme R'et r les rayons des cycles transformés; D' et d' les dislances de leurs centres à l'axe, et T' leur distance tangentielle. Si l'on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une môme

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( !'• Partie). 21

323 GÉOMÉTRIK PLANB.

perpendiculaire à l'axe, il est clair que l'on a

T'»=p»-+-(D'-r/')2-(R'-r')V Or les formules énoncées plus haut donnent aisément

Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,

ce qui démontre la proposition énoncée (* ).