LIVRE JII. — LES FIGURES SEMBLABLES. Sig
Considérons une courbe K comme l'enveloppe d'une semi-droite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la transformée de la courbe K.
THÉORÈME
M \ . Quand on effectue une transformation par semi-droites réci-^ proques, un cycle a pour transformé un autre cycle.
Soit £i l'axe de transformation, et considérons un cycle quelconque K coupant l'axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et
N'M' parallèles à la direction des semi-droites qui, dans la transformation, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites {^fig. 2494).
Cela posé, construisons le second cycle K' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et M'P; je dis que le cycle K' est le transformé de K .
On voit en effet que la transformation est définie par l'axe ii, le cycle K et le point P.
Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle K' au point a et le cycle K aux points p et 7. On sait que les tangentes menées en a et 7 se coupent en un point T do l'axe radical II des deux cycles ; d'ailleurs, la tangente ^^ au point ^ est parallèle à aT; il résulte donc de la définition donnée plus haut que aT et T7 sont deux demi-droites réciproques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent K est donc le cercle K'; ce qu'il fallait démontrer.
On voit ainsi qu'un cycle K a pour réciproque un cycle K'. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les doux propriétés suivantes :
i" Leur axe radical est l'axe de transformation ^
320 GÉOMÉTIUE PLANE.
a° Leurs tanç^entes communes sont parallèles à deux directions fixes ^ à savoir aux directions des semi-droites qui se transforment en ellesmêmes.
Désignons respectivement par R et R' les rayons des deux cycles (ces quantités étant données en grandeur et en signe) et par D et D' les distances de leurs centres à l'axe ( ^ ).
La première propriété donne la relation suivante :
et la deuxième, la relation
où a désigne une constante caractérisant la transformation; d'où encore, en combinant ces deux relations,
On en déduit
et
D(a2-M)— 2aR "" I — a2
, 2aD — R(i-+-a2) K. = r •
Le cycle K' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est donné, puisque l'on connaît la distance de son centre à l'axe et son rayon.
Le cycle K' se réduit à un point, si R'= o, ce qui exige que l'on ait
Ra2— 2aD-t-R=o, d'où
Il en résulte qu'«// cycle étant donné, ainsi que Vaxe de transformation j on peut toujours de'terminer le modulev.de la transformation, de façon que ce cycle ait pour ti-ansformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas l'axe. En désignant, en effet, par R son rayon et par D la distance de son centre à l'axe, on voit que, D^ — R2 étant positif, l'équation précédente détermine pour le module a deux valeurs réelles.
(•) On doit ici considérer l'uxc de transformation comme une semi-droite, en liii donnant un sens arbitraire, de sorte que D et D' sont aussi déterminés •n grandeur et en signe.
