LIVRE ÏV. — LES AIRES

On a d'abord

d'où

p — &, p — a — 'i, p — b = ij p — c — i.

Les formules (6), (i), (2), (3), (4), (5), donnent ensuite successivement

Le triangle considéré étant rectangle, puisque c^— a}-\- b^, il est facile de trouver directement les valeurs numériques que nous venons de déduire des formules générales.

429. Pour évaluer l'aire d'un polygone, il suffit de décomposer ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus.

Pour opérer cette décomposition, on peut choisir un point quelconque dans le plan du polygone et le joindre à tous ses sommets. Les bases des différents triangles formés seront les côtés du polygone, leurs hauteurs seront les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces côtés. L*aire du polygone sera la somme arithmétique ou algébrique des aires des triangles obtenus, suivant que leur sommet commun sera intérieur ou extérieur au polygone.

Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre l'un des sommets du polygone, c'est-à-dire en menant toutes les diagonales qui partent d'un même sommet.

430. Si l'on peut trouver dans l'intérieur du polygone un point à égale distance de tous ses côtés, c'est-à-dire si le polygone est circonscriptible, les triangles qui le composent ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit, et son aire a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit.

THÉORÈME

431. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de la demi-somme de ses bases par sa hauteur.

Soit le trapèze ABCD [fig. 254). En menant la diagonale BC, on le partage en deux triangles ABC, BCD, qui ont pour hau-

teur commune la hauteur EF du trapèze, et pour bases respectives les bases même du trapèze. L'aire du premier est

égale à EF, celle du second à EF. En ajoutant ces

deux expressions, on trouve, pour l'aire du trapèze, ^« + ^".EF.

gcOLlES.

432. En désignant par S, B, 6, H, les nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un trapèze, ses deux bases et sa hauteur, on a la formule

433. Menons par le point G [fig. 254), niilieu du côté AC, une parallèle GH aux deux bases du trapèze. Cette parallèle coupera le côté BD et la diagonale BG en leurs milieux II et L (182). On aura donc