ABC = 0BC-+-0CAH"0AB

Et , comme les triangles indiqués dans le second membre ont respecti-

Fig. 253.

vement pour bases «, ^, c, et pour hauteur commune le rayon r du cercle inscrit, on a

ar br cr a -h b -\- c

(2) S = pr.

3° En joignant aux trois sommets le centre 0' du cercle ex-inscrii situé dans l'angle A, on voit que

ABC = O'C A -f O'AB — O'BC

^ br' cr' ar' b -h c — a , ip — ia , S= 1 = r'= — ' r'.

c'est-à-dire

On trouverait de môme

Les formules (2), (3), (4), (5), donnent de nouvelles expressions de l'aire d'un triangle.

4** Les formules (i), (2), (3), (4), (5), permettraient inversement de calculer R, r, r\ r", /•'", en fonction des trois côtés, si l'on connaissait l'expression de l'aire S en fonction de ces côtés.

Or, cette expression résulte immédiatement du calcul fait au n** 229. On a trouvé, en effet ,

h = - \/p[p-a){p - b] [p — cj

d'où, en remarquant que S = -• ^,

(6) ^=VP{P'-^){P-Ô){p-C).

On peut d'ailleurs établir cette formule géométriquement de la manière suivante (/%•. 253).

En multipliant les relations (2) et (3) membre à membre, on obtient

Les bissectrices OC et O'C des deux angles adjacents et supplémentaires EGA, BCQ, étant rectangulaires, les triangles OPC, O'QC, sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires, et l'on a

1 = 11 ou OP.O'Q = PC.CQ.

Mais OP et O'Q sont respectivement égaux à r età r', et, d'après îo

n° 161, les longueurs PC et GQ sont respectivement égales k p — b et

à p — c. On a donc

rr'=[p-b)[p-c),

et, par suite, la relation qui représente le produit des équations (2) et (3)

devient

^-^ = pi^p^a)[p-b][p-c).

S" Enfin, en multipliant membre à membre les relations (a), (3), (4) et (5), on obtient

d'où résulte, eu égard à la formule (6), l'expression plus curieuse qu'utile

Application numérique. — Calculer Paire S et les rayons R, r, r', r%

r'", des cercles circonscrit, inscrit et ex-inscrits, relatifs au triangle qui a

pour côtés