ADE AE.AD

La démonstration subsiste pour deux triangles ABC, AD'E, qui ont un angle supplémentaire; il suffit de remplacer partout la lettre D par la lettre D'.

THÉORÈME

438. Le carré construit sur V hypoténuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les côtés de l'angle droit (fi g. 258).

Soit le trian^'le ABC rectangle en A; soient les carrés ABDE, ACFG, BCHK, construits sur ses trois côtés. L'angle en A étant droit, le côté AE du carré ABDE sera le prolongement du côté CA du triangle, et le côté AG du carré ACFG sera le prolongement du côté BA.

LIVnE IV. — LES AIRES. SSg

Ceci posé, abaissons sur l'hypoténuse BG la perpendiculaire AL, et proiongeons-la jusqu'en I où elle coupe le côté KH; menons les droites AK et DG. Le triangle ABK a mênîe base BK que le rectangle BKIL, et il a aussi même hauteur, puisque son sommet A se trouve sur la droite IL : le triangle ABK équivaut donc (425) à la moitié du rectangle BKIL. De même, le triangle BCD équivaut à la moitié du carré ABDE, car il a même base BD et même hauteur, puisque son sommet G se trouve sur la droite EA. D'ailleurs, les deux triangles ABK et BDC sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir : l'angle ABK égal à l'angle CBD, comme formés tous deux d'un angle droit et de l'angle ABG du triangle donné; le côté BK égal au côté BG comme côtés d'un même carré; le côté AB égal au côté BD pour la même raison. De l'égalité des deux triangles ABK et BDG, on conclut l'équivalence du rectangle BKIL et du carré ABDE.

On démontrerait d'une manière analogue, en menant les droites AH et BF, l'équivalence du rectangle 'CHIL et du carré ACFG.

Le carré BGHK, somme des deux rectangles BKIL et CHIL, est donc équivalent à la somme des deux carrés ABDE et ACFG.

Corollaires.

4-39. Deux rectangles de même hauteur étant entre eux comme leurs bases, on a