III. — AIRES DU POLYGONE RÉGULIER ET DU CERCLE

DÉFINITIONS

443. Un secteur circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc ACDB et les rayons OA, OB, menés aux extrémités de cet arc {Jig. 260).

Fig. 260,

\]n secteur polygonal régulier Qs\ là portion de plan comprise entre une ligne brisée régulière ACDB et les rayons OA, OB, menés du centre 0 de cette ligne (268) à ses extrémités. En divisant en un nombre quelconque de parties égales l'arc

AB du secteur circulaire OAB et joignant les points de division, on obtient un secteur polygonal régulier OACDB inscrit dans le secteur circulaire.

THÉORÈME

444. L'aire d'un polygone régulier a pour mesure le produit de son périmètre par la moitié de Vapothème {Jig. 261).

En effet, en joignanlle centre 0 du polygone régulier ABCDEF à tous ses sommets, on décompose ce polygone en triangles OAB, OBC,..., OFA, qui ont respectivement pour bases les côtés AB, BC,..., FA, et pour hauteur commune l'apothème OG. La somme des aires de ces triangles, c'est-à-dire l'aire du polygone, a donc pour mesure le produit de la somme des côtés AB, BC,. . ., FA, par la moitié de Tapothème OG, c'est-à-dire le produit du périmètre par la moitié de l'apothème.

En désignant par S, /?, a, l'aire, le périmètre et l'apothème du polygone proposé, on a donc la formule

Corollaire.

445. Le rapport des aires de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés est égal au rapport des carrés de leurs apothèmes ou de leurs rayons.

En effet, soient p, a, r, le périmètre, l'apothème et le rayon du premier polygone, et />', a\ r', le périmètre, l'apothème et le rayon du second. En vertu du théorème précédent, le rapport des aires est égal à

M ou a L. .