LIVRE IV. — LES AIRES

D'ailleurs, on a (269)

p' a' r' Le rapport des aires est donc égal à

^. ou a -.

Celle proposition résulle encore de ce que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables (269), et de ce que les aires de deux polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs droites homologues (435,211).

SCOLIE

H6. Par un raisonnement analogue à celui du n'' hkh-, on prouverait que Vaire d'un secteur polygonal régulier OkCD^ ifig' 260 ) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière ACDB par la moitié de l'apothème 01.

447. Soit OAB un secteur circulaire {Js^' 260). En partageant l'arc AB en un nombre quelconque n de parties égales et menant des tangentes par les milieux des divisions ainsi obtenues, on forme deux secteurs polygonaux réguliers OACDB, OA'C'D'B', semblables, l'un inscrit et l'autre circonscrit au secteur circulaire OAB. Si l'on désigne par « et/? l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière ACDB, et par a' et p' l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière A'C'D'B', le

rapport des aires des deux secteurs polygonaux sera —,'—,' D'ailleurs,

I jo p' a!

il résulte du n^âOl que, lorsqu'on fait croître n indéfiniment suivant une loi quelconque, les rapports -^5 —,-, ont pour limite l'unité. Donc, il en est

de même du rapport -^7—; 5 et par suite, à fortiori^ du rapport du secteur

circulaire à chacun des deux secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc :

Vaire d'un secteur circulaire est la limite commune des aires des secleurs polygonaux réguliers semblables inscrit et circonscrit, lorsqulon fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite.

Et, de môme, Vaire dhin cercle est la limite commune des aires des polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on fait croître indéfiniment le nombre des côtés.

Il importe de remarquer que ces deux énoncés sont de véritables théorèmes y tandis que les énoncés analogues (291 ) sur la longueur de l'arc et de la circonférence ne sont que des définitions.

THÉORÈME

448. Vaire d'un cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié du rayon.

L'aire du cercle est la limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, B, l'aire, la circonférence, le rayon du cercle considéré, et Sy /?, a, l'aire, le périmètre et l'apothème d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a (444)

Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers C et « vers R. On a donc, à la limite,

Corollaires.

449. En remplaçant dans la relation précédente la circonférence G par sa valeur

(2) C = 27rR, on obtient la nouvelle formule

(3) S=:7rR% qui montre :

I** Que, pour calculer Vaire d'un cercle de rayon donné, il faut multiplier par t: le carré du rayon;

2° Que, pour calculer le rayon d'un cercle d'aire donnée, il

faut multiplier par- ou diviser par tï le nombre qui exprime

cette aire, et extraire la racine carrée du résultat.