IV. — PROBLÈMES SUR LES AIRES

PROBLÈME

4G0. Construire un triangle équivalent à un polygone donné (fig. 263, 264).

Soii, par exemple, le pentagone convexe ABCDE {fig. 263),

En menant la diagonale EC, on détache de ce pentagone le triangle ECD. Si par le sommet D on mène alors une parallèle DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront EC

Fig. 263.

Firr. 204-

pour base et leurs sommets sur DF seront équivalents au triangle ECD (426), et formeront avec le quadrilatère ECBA un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que le nouveau polygone ABCFE ait un sommet de moins, il suffit de choisir parmi tous ces triangles celui dont le sommet est en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côté BC prolongé.

La construction indiquée permettant de transformer un polygone quelconque en un polygone équivalent, mais ayant un côté de moins, on arrivera toujours, en la répétant, à un triangle équivalent au polygone proposé.

Dans la Jîg. 263, en menant par le sommet A, jusqu'à la rencontre de FB prolongé, la parallèle AG à la diagonale EB, on passe du quadrilatère EABF au triangle équivalent FEG. Ce triangle est donc équivalent au pentagone primitif.

46i. Lorsque le polygone considéré n'est pas convexe (fig. 264), la construction reste la même. Le pentagone concave ABCDE, augmenté du triangle EDC, équivaut au quadrilatère ABCE; et ce quadrilatère, diminué du triangle EFC, qui est équivalent au triangle EDC, donne le quadrilatère ABFE équivalent au pentagone proposé.

SCOLIE

4G2. Le problème précédent fournit un nouveau moyen pour évaluer l'aire d'un polygone; on peut, en effet, transformer le polygone considéré en un triangle équivalent, puis calculer l'aire de ce triangle.