LIVRE IV. — LES AIRES

la parenthèse renferme toutes les ordonnées de rang pair. En désignant leur somme par P, on aura donc

Menons les cordes AG et BL, qui correspondent aux divisions extrêmes; puis, dans l'intervalle, les cordes CE, EG, GI, IL, qui correspondent chacune à deux divisions. Nous formerons une nouvelle série de trapèzes dont la somme sera une limite inférieure du résultat demandé. On a

trapèze AC'= h (^^^^^ trapèze CE'= ih C^'~^'^\

trapèze IL' = ih (^^''^jA, trapèze LB'^:/^^'^"'"^-^^" y En désignant par s la somme de ces trapèzes, il vient

ou bien, en ajoutant et en retranchant dans la parenthèse

2pY

A étant l'aire cherchée, on a

S + ^ Mais la moyenne tombe aussi entre s et S. On peut donc, sauf une

erreur que nous estimerons, prendre

=„(.p.tï),

îans cette formule, P désigne, comme nous l'avons dit, la somme de toutes les ordonnées de rang pair, E est la somme des deux ordonnées extrêmes, E' est la somme des deux ordonnées voisines des deux extrêmes. L'avantage de cette formule, quand le nombre des divisions est grand, c'est qu'il n'y entre que les ordonnées de rang pair et les deux ordonnées

36o GÉOMÉTRIE PLANE.

extrêmes, ce qui dispense de calculer les ordonnées intermédiaires de rang impair.

Il reste à indiquer une limite supérieure de l'erreur commise en employant la formule. Comme A tombe entre S et ou entre et s,

l'erreur que l'on fait en substituant à A est moindre que S

ou que ^, c est-a-oire que

Menons sur la figure les droites AB et CL; ces deux droites coupent l'ordonnée du milieu GG' en deux points M et N, et l'on a

Zi±ij[« = MG', ^^L±Iii ^ NG',

c'est-à-dire

5 î^ = MN.

La limite supérieure de l'erreur commise s'exprime donc géométriquement par le produit