LIVRE

LES AIRES

puisque, dans le cercle de rayon i, le sinus d'un arc est la moitié de la corde de Varc double; et , si l'on substitue ces valeurs dans la relation (i), on obtient la relation (2).

IIÎ. — Sur les maximums et les minimums des figures planes.

477. On attribue à l'École de Pythagore les premières recherches, par voie synthétique, sur les maximums et les minimums des figures. En 1782, Lhuilier [^De relatione mutuâ capacitatis et terminorum Jïgurarum) a résumé toutes les découvertes faites sur ce sujet depuis les Grecs jusqu'à R. Simpson; il a corrigé avec une admirable sagacité les erreurs de ses devanciers et accru considérablement par ses propres découvertes le domaine de cette théorie. Enfin, en 1842, Steiner, dans deux Mémoires [Journal de Crelle, t. XXIV), véritables chefs-d'œuvre de Géométrie synthétique, a fait connaître, pour la recherche des maximums des figures planes, cinq méthodes, dont les deux premières s'appliquent à la sphère. Nous exposerons ici la première de ces méthodes, qui surpassé d'ailleurs les autres en élégance et en généralité.

THÉORÈME

478. Entre tous les triangles isopérimètres et de même base AB , le triangle isocèle ACB est un maximum [fig. ^73).

En effet, soit ADB un triangle non isocèle construit sur la base AB, audessus d'elle et tel que AD-i- DB = AG-t-CB. Les triangles AC2, ADB, ayant une partie commune AEB, il s'agit de prouver que le triangle BED est moindre que le triangle AEG. Or si l'on prend sur EA et sur EC, EF = EB et EG = ED, les triangles FEG, BED, seront égaux, et il suffira de faire voir que le triangle FEG est compris dans AEG, c'est-à-dire que le point F tombe entre E et A, et le point G entre E et G.

D'abord F tombe entre E et A; car l'angle p, égal à a, est supérieur à 7; donc EA est plus grand que EB ou EF.

En second lieu, G tombe entre E et G; il suffit pour le prouver d'établir l'inégalité

FG -f- CE < FC -t- GE

OU, en ajoutant AF h- FE de part et d'autre,