LIVRE IV. — LES AIRES. Sôj

Supposons la ligne L de forme quelconque, et qu'elle compose avec la droite a le périmètre de la figure ah; on peut toujours construire sur a un segment de cercle dont Tare a soit égal à L, a et L étant situés du même côté de a. Complétons le cercle, et désignons l'autre arc par ^ ; alors le cercle de périmètre a h- p est plus grand que la figure limitéa par L-i- P; ainsi «a -j- «p > «Lh-«6; donc «a> «L.

On déduit de ce théorème cette règle générale :

Dans toute Jigure dont l'aire doit être un maximum sous des conditioni quelconques j chaque partie du périmètre, qui est libre d'avoir une jorme quelconque entre deux points donnés, doit être un arc de cercle,

THÉORÈME

485. i" Un polygone de côtés donnés est maximum lorsqu'il est inscriptible au cercle.

Observons d'abord qu'on peut toujours, avec des côtés donnés ^, 6, c, . . . , /, dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les antres, former un polygone convexe inscriptible, et un seul. En effet, décrivons un premier cercle 0 assez grand pour que, en portant les unes à la suite des autres, à partir de l'un des points A de la circonférence, des cordes AB = «, BG = ^, . . . , LM = /, l'extrémité M de la dernière corde n'atteigne pas le point A. Le centre 0 étant d'abord situé dans le segment BCMA au-dessus de AB, supposons que ce centre s'abaisse d'une manière continue en décrivant la droite OZ perpendiculaire sur le milieu de AB. L'arc BCMA de la circonférence variable qui a pour centre 0 et qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, c'est-à-dire une longueur moindre que ^-i-c-t-. . .h- /, on voit que l'extrémité M de la ligne brisée inscrite BC. . .M s'approchera du point A, et l'atteindra pour le dépasser ensuite. Il y aura donc une position du centre 0 et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC. . . M formera un polygone inscrit, comme nous l'avons annoncé.

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de côtés donnés «, 6, c,. .., /; P' étant un polygone quelconque formé avec les mêmes côtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des côtés, les segments circulaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. On obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont e périmètre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (483), 5> S', d'où, en retranchant de part et d'autre les segments circulaires :iui surmontent les côtés, P > P'.

2° Entre tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, le polygone régulier est un maximum; et réciproquement, entre les péri" mètres de tous les polygones équivalents d'un même nombre de côtés, celui j^K<//< polygone régulier eH un minimum^

En effet, le maximum parmi les polygones isopérimètres de n côtés doit d'abord avoir tous ses côtés égaux entre eux ; car si deux côtés con sécutifs AB et BC étaient inégaux, en remplaçant le triangle ABC par un triangle isocèle AB'C construit sur la môme base et de même périmètre, on aurait (478) une figure isopérimètre de n côtés et d'aire plus grande. Par suite, les côtés du polygone sont donnés et égaux chacun à la «'*"" partie du périmètre ; de plus, en vertu de la première partie du théorème qui nous occupe, .e polygone maximum doit être inscriptible au cercle: Donc, enfin, le polygone maximum, devant être à la fois équilatéral et inscriptible, est régulier.

Corollaire.

486. D'après cela, quand on cherchera quel polygone a l'aire maximum pour un périmètre constant, ou le périmètre minimum pour une aire constante, le nombre des côtés étant variable, on n'aura qu'à s'occuper des polygones réguliers, et l'on trouvera la loi suivante :

Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série croissante, qui commence par le triangle et se termine par le cercle; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, à partir du triangle jusque au cercle.

En effet, deux polygones réguliers isopérimètres d'un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère abcd^ on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont l'un des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un aes côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad^ le considérer comme un pentagone ahcde^ dont l'un des angles e serait égal à deux angles tlroits; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pentagone irrégulier : donc son aire est plus petite que celle du pentagone régulier ABCDE.