LIVRE PREMIER

LA LIGNE DROITE

§.^ I, n, III

Des angles.— Des triangles. — Des perpendiculaires et des obliques.

i. ÉtantdonnéesquatredroitesOA,OB,OG,OD,issuesd'unmêmepointO, si les angles DOA, BOC, sont égaux entre eux, ainsi que les angles AOB, COD, les côtés OA et OC sont en ligne droite, ainsi que les côtés OB et OD.

2. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme des droites qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et moindre que le double de cette somme.

3. Une médiane quelconque d'un triangle est moindre que la demisomme des deux côtés issus du même sommet, et plus grande que la moitié de l'excès de cette somme sur le troisième côté.

4. Le périm.ètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois médianes et moindre que le double de cette somme.

5. ABC étant un triangle quelconque, on prend sur AB, prolongé s'il le faut, une longueur AC égale à AC; on prend de môme sur AG une longueur AB' égale à AB; on tire B'C qui coupe BG en I : démontrer que la droite AI est la bissectrice de l'angle BAC.

6. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, d'un môme côté,. telles que BC = CD, l'angle BAC est plus grand que l'angle CAD.

7. On dit que deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite indéfinie XY, lorsque cette droite XY est perpendiculaire sur le milieu de AA'. Démontrer d'après cette définition : i° que, si A' et B' sont les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques A et B, les deux droites symétriques AB et A'B' sont égales entre elles; 2° que l'angle

Tx. et DE C. — Tr. de Gconi. ( l" Partie). 24

CABde deux droites AB et AC est égal à l'angle C'A'B' de leurs symétriques A'B'ei A'C.

8. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène la droite indéfinie XY Perpendiculaire sur la bissectrice de- l'angle A. Démontrer que, si M est m point quelconque de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand [ue celui du triangle donné ABC.

9. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle ;oncourent en un même point.

10. Les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point. — La bissectrice de l'un des angles et les bissectrices des suppléments des deux autres angles concourent aussi en un même point.

§ IV. — Des parallèles.

11. Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles AG et BD se coupent en un point 0, on a AO = OC et OB = OD.

12. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène une parallèle DE au côté BC, la droite DE passera par le milieu E de AC et sera égale à la moitié de BC. — Réciproquement, la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.

13. Trouver le lieu des milieux des portions de droites qui vont d'un point donné à une droite donnée.

14. Étantdonnéun pointa l'intérieur ok à l'extérieur d'un angle, mener entre les côtés de l'angle une droite qui soit divisée par ce point ou par l'un des côtés de l'angle en deux parties égales.

13. Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en menant par chacun de ses sommets une parallèle au côté opposé. Chaque côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle donné.

16. Les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point

17. Déduire du résultat précédent un procédé pour mener par un point donné une droite qui aille passer par le point de concours, supposé inaccessible, de deux droites données.

18. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant.

19. Dans un triangle, la plus petite médiane correspond au plus grand côté. — Conséquence.

QUESTIONS PROPOSÉES. Sjl

20. Dans un triangle, le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, le point de concours des trois médianes et celui des trois hauteurs, sont en ligne droite, et la distance du premier point au second est moitié de la distance du second point au troisième.

21. Si, par le point d'intersection I des bissectrices des angles B et C d'un triangle ABC, on mène entre les côtés de l'angle A la parallèle DIE à BC, la droite DE sera égale à la somme de BD et de CE. Si, par le point d'intersection I' de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément de l'angle C, on mène entre les côtés de l'angle A ou de son opposé par le sommet la parallèle D'I'E' à BC, la droite D'E' sera égale à la différence de BD' et de CE'. — Conséquences,

22. Des extrémités A et B et du milieu C d'une droite AB, on mène dans une direction quelconque des droites parallèles AA', BB', CC, jusqu'à leur rencontre avec une droite indéfinie XY. Démontrer que le point C est le milieu de A'B', et que la parallèle CC est égale à la demi-somme ou à la demi-différence des parallèles AA' et BB', suivant que les points A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XY.

23. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la base?

24. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites fixes est constamment égale à une longueur donnée.

25. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un triangle équilatéral à ses trois côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est extérieur au triangle ?

26. AX étant une droite quelconque menée par le sommet A d'un triangle ABC, et BE, CF, étant les perpendiculaires abaissées des points B et C sur cette droite AX, démontrer que le milieu D de BC est à égale distance des points E et F.

27. Démontrer : i" que si deux angles ont leurs côtés respectivement )arallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires entre elles; a" que si deux angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles.

28. Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle un point tel, que les longueurs interceptées par les deux autres côtés sur les parallèles menées de ce point à ces mômes côtés soient égales entre elles.

29. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur ^(cette droite un point M tel que la somme AM -t- BM soit un minimum.

30. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M tel que la difîérence BM — AM soit un maximum.

31. Trouver sur un côté d'un triangle un point tel que la somme de se distances aux deux autres côtés soit un minimum.

32. Trouver dans le plan d'un triangle un point tel que la somme do ses distances aux trois côtés soit un minimum.

§ V. — Somme des angles d'un polygone.

33. Étant donnés un triangle ABC et un point 0 pris dans son intérieur, démontrer que Tangle BOC est toujours plus grand que l'angle BAC du triangle.

34. Un angle d'un triangle est droit, aigu ou obtus, suivant que la médiane issue du sommet de cet angle est égale, supérieure ou inférieure à la moitié du côté opposé. — Réciproques.

33. AD et BG étant deux parallèles coupées obliquement par AB et perpendiculairement par AC, on mène entre ces deux parallèles la droite BED qui coupe AC en E, de manière que ED = 2AB : démontrer que l'angle DBC est le tiers de l'angle ABC.

36. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, de manière que ces obliques soient situées d'un même côté de AB et que les angles BAC, CAD, DAE, soient égaux, on a BC < CD < DE.

37. Soient un triangle ABC, et AO, BO, CO, les bissectrices de ses angles ; AO prolongée coupant le côté BC en D, et 01 étant la perpendiculaire menée du point 0 sur BC, démontrer que l'angle BOD est égal à l'angle COI.

38. L'angle formé par la bissectrice de l'angle A d'un triangle ABC et par la perpendiculaire menée du sommet A sur le côté BC est égal à la demi-différence des angles B et C.

39. La différence entre les deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale à l'angle formé par la hauteur et la médiane issues du sommet de l'angle droit. — Si l'on rapproche ce résultat du précédent, quelle conclusion peut-on en déduire?

40. Si l'on mène les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC, les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles déterminent autour du triangle donné sont équiangles. Chaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total.

41. Dans un triangle ABC, on prend sur le côté AB et sur son prolonf^ement AD = AE = AG, puis on joint le sommet G aux points D et E. L'émontrer que l'angle E est la moitié de l'angle A du triangle ABG, et que i angle DGE est droit.

42. Dans un triangle ABG on mène, jusqu'au côlé BC, une droite AD faisant avec le côté AB un angle égal à l'angle G et une droite AE faisant avec le côté AC un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DAE est isocèle.

'43. Dans un triangle rectangle, si l'un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double du plus petit côté. — Réciproque.

44. Dans un triangle quelconque ABC où l'angle B est double de l'angle G, on mène AD perpendiculaire sur le côté BG; sur AB, prolongé ou non suivant que l'angle B est aigu ou obtus, on prend BE égal à BD, puis on tire la droite EDF qui coupe AG au point F. Démontrer : 1° que les longueurs FD, FG, FA, sont égales et que les triangles ABG, AFE, sont équiangles; 2" que le côté AB est égal à la différence des segments DG et DB de la base BG si l'angle B est aigu, à leur somme si l'angle B est obtus

45. L'angle des bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme dos deux autres angles du quadrilatère. L'angle des bissectrices de deux angles opposés est égal à la demidifférence des deux autres angles.

46. Les bissectrices des angles formés en prolongeantjusqu'à leur rencontre les côtés opposés d'un quadrilatère convexe se coupent sous un angle égal à la demi-somme de deux angles opposés du quadrilatère.

§ VI. — Du parallélogramme.

47. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal, et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière. Énoncer le théorème correspondant pour le cas de deux parallélogrammes, de deux rectangles, de deux losanges, de deux carrés.

48. Deux trapèzes sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la môme manière.

49. Toute droite passant par le centre d'ua parallélogramme le divise en deux quadrilatères égaux.

50. Tout quadrilatère est la moitié du parallélogramme que l'on obtieni en menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre

374 GÉOaiÉTRlE P[-ANE.

diagonale. — Déduire de ce théorème que deux quadrilatères ont même surface lorsque leurs diagonales sont respectivement égales et se coupent sous le même angle.

51. Si l'on mène la droite DE qui joint les milieux des côtés AB et AG du triangle ABC et, par les points D et E, deux parallèles quelconques DF, EG, jusqu'à la rencontre du côté BC, le triangle ADE est le quart du triangle ABC et le parallélogramme DEGF en est la moitié.

52. Les droites qui joignent successivement les milieux des côtés d'un quadrilatère forment un parallélogramme, moitié de la figure primitive. — Conséquence relative aux droites qui joignent les milieux des côtés du quadrilatère.

53. En divisant arbitrairement, mais de la même manière, les côtés d'un carré, et en joignant successivement les points de division, on forme un nouveau carré inscrit dans le premier.

54. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend en sens inverse, sur les côtés opposés AB, CD, deux longueurs AE et CF, arbitraires, mais égales; de même, sur les côtés opposés AD, BC, on prend en sens inverse les longueurs arbitraires AH = CG. Démontrer : i° que la figure EGFH est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé; 2" que le centre du parallélogramme proposé est en même temps celui de tous les parallélogrammes qu'on peut y inscrire.

55. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère quelconque est le milieu de la droite qui unit les milieux des diagonales de ce quadrilatère.

56. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence de ses côtés adjacents. Lorsque le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.

57. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène des parallèles aux deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont

e périmètre est constant.

58. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant h s cai rés .'onstruits sur les côtés AB et AC de l'angle droit, des sommets D et E, opposés au sommet A, on abaisse des perpendiculaires DF, EG, sur l'hypoténuse BC prolongée. Démontrer : 1° que l'hypoténuse BC est égale à la somme des perpendiculaires DF et EG ; a** que le triangle proposé ABC est la somme des triangles DFB, CEG.

59. Démontrer que dans tout trapèze isocèle les angles opposés sont supplémentaires.

60. Dans tout trapèze, les quatre points, milieux des deux côtés non parallèles et des deux diagonales, sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze; la distance des points extrêmes est égale à la demisomme de ces bases; la distance des points intermédiaires est égale à leur demi- différence.

61. ABCD étant un parallélogramme, E et F étant les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites BF et DE divisent la diagonale AG en trois parties égales.

62. Par le sommet A d'un parallélogramme ABCD, on mène une droite quelconque AX. Prouver que la distance du sommet C à la droite AX est égale à la somme ou à la différence des distances des sommets B et D à la même droite, suivant que AX est extérieure au parallélogramme ou le traverse.

63. D, E, F, étant respectivement les milieux des côtés AB, BC, CA, d'un triangle ABC, on mène DG parallèle à la médiane BF jusqu'à la rencontre de EF prolongée. Démontrer que les trois côtés du triangle DGC sont respectivement égaux aux trois médianes du triangle ABC.

64. Démontrer qu'un polygoae convexe, d'un nombre impair de côtés, est déterminé quand on donne les milieux de ses côtés.

65. Parmi tous les triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés variables dont la somme est constante, quel est celui dont le périmètre est minimum?

66. Étant données deux parallèles XY, X'Y', et deux points A et B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court chemin de A en l ■)ar une ligne brisée AMNB telle, que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée.

67. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé successivement les quatre côtés? — Qutlle est la longueur du chemin parcouru alors par la bille? — Comment généraliserait-on la question? {On admet que, lorsque la bille frappe une bande, les deux droites qu'elle suit, avanf et après le choc, sont également inclinées sur la bande).