Construire un triangle rectangle, connaissant

1° L'un des côtés de l'angle droit et l'excès de l'hypoténuse sur le Iroi sième côté;

2° Les angles et l'excès de l'hypoténuse sur un des côtés de l'angle droit.

128. Étant donnés un cercle et un angle circonscrit, toute tangente à l'arc qui tourne sa convexité vers le sommet détermine avec les côtés de

l'angle un triangle dont le périmètre est constant et dont le troisième côté est vu du centre du cercle sous un angle constant. — Qu'arrive-t-il lorsque la tangente est menée par un point de l'arc concave?

429. Construire un triangle, connaissant son périmètre, un angle en grandeur et en position, et un point du troisième côté.

J30. Construire un triangle, connaissant :

i" Un angle, ainsi que la hauteur et la médiane issues de son sommet;

2° Un côté, un angle et une hauteur (cinq cas).

d31. Construire un triangle ayant des angles donnés et tel, que ses sommets appartiennent à deux circonférences concentriques données.

132. Construire un triangle, connaissant la base, la différence des angles à la base, et sachant que le sommet doit être situé sur une droite donnée.

133. Dans tout triangle rectangle, le diamètre du cercle inscrit est égal à l'excès de la somme des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.

134. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits, démontrer : i* que les quatre points de contact qui se trouvent sur un mêpfie côté (deux intérieurs et deux extérieurs) sont deux à deux équidistants du milieu de ce côté; 2° que la distance d'un point de contact extérieur au plus éloigné des deux sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre du triangle; 3" que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet ; 4° que la distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle ; 5° que la distance- des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deux autres côtés du triangle; 6** que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des points de contact extérieurs est égale à celui des deux autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux points de contact.

133. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, 0 celui du cercle inscrit, et 0', 0", 0'", les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : 1° que le cercle circonscrit passe par les milieux des droites 00', 00", 00'"; 2° que les quatre points 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D; 3*» que les points 0", B, C, 0'", sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D.

136. Si l'on désigne par U le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ; par r celui du cercle inscrit, par r', r", r'", ceux des cercles ex-inscrits;

par §, 5', S", les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés; par ^i, \k\ fx", les portions de ces perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a les relations

pi -h p' 4- fi" = 2 R — r, S-^d'-hS" = R -f- r.

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à l'intérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, comment faut-il modifier cette relation?