LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

§ L — Lignes proportionnelles.

i56. Démontrer que, si l'on mène entre les deux côtés d'un triangle une suite de parallèles à la base, la médiane qui correspond à cette base est le lieu des points d'intersection des diagonales des trapèzes ainsi obtenus.

157. Trouver le lieu géométrique des points d'un plan également éclairés par deux foyers lumineux placés dans ce plan, et dont les intensités à l'unité de distance sont représentées par les nombres a et h,

158. Trouver dans le plan déterminé par trois foyers lumineux le point également éclairé par chacun d'eux,

159. Trouver le lieu des points qui partagent dans un rapport donné — toutes les droites comprises entre un point donné A et un cercle donné 0.

160. Trouver le lieu des points d'oii l'on voit sous un même angle donné deux cercles donnés.

161. Trouver le point d'où l'on voit sous un même angle donné trois cercles donnés.

162. Soient deux droites quelconques AB et XY. Si AB est divisée au point C dans le rapport — j et si des points A,B, C, on mène jusqu'à XY les parallèles AA', BB', CC, à une direction quelconque, on a toujours

CC'(/w H- n\ = «.AA'-h /7/.BB'.

§ IL — Lignes proportionnelles dans le cercle,

163. Étant donnés un point A et un cercle 0, on mène à ce cercle par le point A une sécante ABC sur laquelle on prend un point M tel, qu'on ait AM.AC= P\ trouver le lieu décrit par le point M quand la sécante

iBC tourne autour du point A.

' R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). 25 L :__ ____.^ :__..

•164. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, que la corde interceptée soit moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.

16S. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, que le produit de la sécante entière par sa partie intérieure soit égal à un carré donné k^.

dC6. Étant donné un triangle obtusangle, mener du sommet de Tangle obtus au côté opposé une droite dont le carré soit égal au produit des segments qu'elle détermine sur ce côté.

167. AB est un diamètre d'un cercle, CD une corde perpendiculaire à AB; par un point P pris sur CD, on mène une corde APQ : démontrer que le produit AP.AQ est constant.

168. Si l'on joint le centre d'un cercle à un point d'une corde, le carré de la droite obtenue, plus le produit des segments que le point choisi détermine sur la corde, est égal au carré du rayon.

169. Les cordes communes à un cercle fixe et à tous les cercles que l'on peut mener par deux points donnés, passent par un point fixe.

170. Dans tout triangle, la demi-différence de deux côtés est la moyenne proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice et la hauteur issues du sommet de l'ande opposé; de môme, la demi-somme de deux côtés est la moyenne proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice du supplément de l'angle opposé et par la hauteur issue du sommet de cet angle.

171 . Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle, on mène la bissectrice AD de l'angle A qui coupe BC en D et le cercle circonscrit en E, et la bissectrice AD' du supplément de l'angle A qui coupe BG prolongé en D'et le cercle circonscrit en E' : démontrer queBE est la moyenne proportionnelle de EA et de ED, et que BE' est la moyenne proportionnelle de E'A et de E'D'.

172. On donne l'angle au sommet d'un triangle en grandeur et en position, et la somme des inverses des côtés qui comprennent cet angle : démontrer que la base du triangle passe par un point fixe.

173. Deux droites se coupent à angle droit dans un cercle ou hors d'un cercle : démontrer que la somme des carrés des deux droites opposées déterminées par leurs points d'intersection avec la circonférence est égale au carré du diamètre, ainsi que la somme des carrés des quatre segments des deux droites données.

174. Si, dans le problème précédent, AB et CD sont les cordes interceptées par la circonférence 0 sur les deux droites données qui se coupent perpendiculairement en E, on a

ABVcD'-f-40E'=:80A'

75. Soit un demi-cercle décrit sur AB; deux cordes quelconques AD et BG se coupent en P : démontrer que

ÂB^ = AD.AP-+-BG.BP.

176. Dans un triangle quelconque ABC, soient M le milieu de la base BC, I son point de contact avec le cercle inscrit au triangle, H et K les points de rencontre de la hauteur et de la bissectrice issues du sommet A avec BG : démontrer la relation

MI.H1 = MH.KI.

177. R, r, pi, p2, p3, étant les rayons du cercle circonscrit, du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits à un triangle quelconque, et d^ Sj, 02, S3, étant les distances da centre du cercle circonscrit aux centres des cercles inscrit et ex-inscrits : démontrer les relations

ir- = ^2^aRr^5f-2Upi = a|-2Rp2^5i-2Rp3^^'"^^'^^^"^^'

178. Si ABCD est un parallélogramme, et si Ton décrit un cercle passant par A et coupant respectivement en F, H, G, les côtés AB et AD et la diagonale AC, démontrer la relation