h6ou26, 2S-f-6ou3^, 3S-+-6ou46, 4ê-i-Sûu

de la seconde grandeur. Or, par hypothèse, les valeurs de la seconde U. et DK C. — Tr. de Cdom. CI" Parlie). 28

grandeur qui r(^pondent aux valeurs 3a ou « et 5a ou a de la première sont b et h ; on aura donc

6 ==36, ^'=58, d'où \

* Si le rapport —, est incommensurable, soient - et deux valeurs

approchées de ce rapport à - près, l'une par défaut, l'autre par excès. On aura

d'où, K}û désignant par a la /?'^'" partie de a',

/ca < « < (A- ■+- i)a et a! — no.»

Mais, si 6 est la valeur de B qui correspond à la valeur a de A, aux valeurs X- a, (A:h- i)a, /?a de A correspondront respectivement les valeurs /■6, (/c-f-i)§, A^6 de B. On aura donc, puisque, d'après l'énoncé, à une ' plus grande valeur de A correspond nécessairement une plus grande valeur de B,

A-6<^<(/c-^i)6 et b'=n^, c'est-à-dire

^y <ib<: b' ou - < 77 <

Par suite, les deux rapports — > tt' étant compris entre deux nombres -

A: I et — h - qui, pour n assez grand, diffèrent aussi peu qu'on veut, ne sauraient avoir aucune différence assignable.

RÉCIPROQUEMENT, SI dcux grandeurs sont proportionnelles : i** la relation

montre que pour a = «' on a ^ — b\ c'est-à-dire qu'à des valeurs égales de la première grandeur correspondent des valeurs égales de la seconde; i!" la même relation donne

a -If a' b -\- b' ; — = — r# — )

MESURE DES GRANDEURS

*est-à-dirc qu'à la somme de deux valeurs quelconques de la première grandeur correspond la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.

Ainsi, correspondance dans Vcgalite'et correspondance dans la somme, telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportionnalité de deux grandeurs. Si l'une des deux conditions est seule remplie il n'y a pas proportionnalité' ; c'est ce qui arrive pour un arc et sa corde : à des arcs égaux d'un même cercle correspondent des cordes égales; mais la corde BG de la somme de deux arcs est moindre que la somme AB -h AG des cordes de ces arcs.

9. On dit qu'une grandeur M est à la fois proportionnelle à plusieurs autres grandeurs A, B, G, lorsque, ces dernières grandeurs, sauf une, restant constantes, la grandeur M est proportionnelle à celle qui varie.

Lorsqu'une grandeur M est proportionnelle à plusieurs outres gran-^ deurs A, B, G, le rapport de deux valeurs quelconques de la grandeur M est égal au produit des rapports des valeurs coî'respondantes des autres grandeurs.

Ainsi, soient

deux séries de valeurs correspondantes des grandeurs M, A, B, C, obtenues en rapportant chaque grandeur à une unité de son espèce. On aura

En effet, soient m^ la valeur de M qui correspond aux valeurs a', b, c de A, B, G, et mz celle qui répond à «', b', c; on aura, d'après la défîaition ci-dessus,

b nii c

rrti

nii

Kn multipliant ces trois égalités membre à membre et simplifiant, on trouve

suTi l'impossibilité de la quadrature du cercle. 437

ruR l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Historique du problème.

Il n'est guère de problème qui ait donné lieu à plus de tentatives que celui de la quadrature du cercle : on entend par là, comme on sait, la construction avec la règle et le compas, c'est- à-dire à l'aide d'un nombre limité de droites et de cercles, du carré équivalent à un cercle donné quelconque. L'insuccès de tant d'efforts avait fait regarder ce problème comme impossible, bien qu'il n'existât, à vrai dire, aucune démonstration rigoureuse de cette impossibilité; on avait seulement prouvé jusqu'ici que le rapport de la circonférence au diamètre est incommensurable (Lambert, 1761), et qu'il en est de même de son carré (Legendre, NotelVdesa Géométrie; Hermite, Journal de Crelle, .873).

Dans tout problème susceptible d'être résolu avec la règle et le compas, chaque point de la figure s'obtient par l'intersection de deux droites ou d'une droite et d'un cercle, ou de deux cercles; si l'on imagine qu'on traduise algébriquement les constructions au fur et à mesure, à l'aide des formules de la Géométrie analytique, on aperçoit qu'on n'aura jamais à résoudre que des équations linéaires ou quadratiques, en sorte que l'équation finale pourra, par un nombre suffisant d'élévations au carré successives, être ramenée à une équation de degré pair à coefficients rationnels. On aura démontré l'impossibilité de la quadrature du cercle, si l'on prouve que le nombre tz ne saurait être racine d'une équation de degré quelconque à coefficients rationnels {réels ou imaginaires).

M. Lindemann est parvenu {Mathematische Ànnalen, 1882) à déduire celte proposition de certaines formules de M. Hermite {Mémoire sur la fonction exponentielle, 1874); sa méthode n'est qu'une généralisation, mais fort habile, de celle qu'avait employée l'illustre géomètre pour démontrer que le nombre e, base des logarithmes népériens, jouit de la propriété similaire.

Toutefois le travail de M. Lindemann laissait assurément à désirer sous le rapport de la simplicité. C'est à M. Hilbert que revient le mérite d'avoir donné {Math. Annalen, iSgS) une démonstration très lumineuse de la transcendance de e et de m.

Nous allons exposer cette démonstration d'après l'analyse qu'en a donné M. Félix Klein dans ses remarquables Conférences du Congrès de Chicago (1898).

La démonstration de M^ Hilbert repose sur deux propositions, dont la seconde n'est qu'une généralisation de la première, laquelle ne se trouve introduite qu'en vue de la simplicité. La première concerne la transcendance de e et consiste dans l'impossibilité d'une équation de la forme

(A) a + aie -h a2e2-h. . .-+- a„e" = o,

«1, «2? ■•.5«/i désignant des nombres entiers; c'est le théorème de M. HermiLe. La seconde est relative à la transcendance de ts et consiste dans l'impossibilité d'une équation de la forme

(B) «H- ePi+ePi-H. ..-f-ePn= o,

où a est un nombre entier tandis que ^i, P25 • • .5 P/i sont racines d'une équation algébrique

dans laquelle è, ^1, 62, • • ., b,n désignent des nombres entiers.

Impossibilité de l'équation (A).

Imaginons qu'on remplace les quantités

par rapport auxquelles l'équation (A) est homogène par des quantités qui leur soient proportionnelles,

Io"+~^Oî Il+^lî l2-|-£2» Is+^S) •••5 !«-+-£«,

et telbs que chacune 4'elles soit formée par un entier I et une fraction e. L'équation (A) prendra alors la forme

(A') aIo4- ai II + ...-+-«„!„) -h (rteo-i-«i £1 -H •• .4- ««£«) = o;

et, si l'on peut démontrer que les I et les e peuvent être choisis de façon que la première parenthèse, qui est naturellement entière, soil

SUR l'impossibilité de la quadrature du cercle.

diirérente de zéro, tandis que la seconde parenthèse devient en même temps une fraction proprement dite, l'équation (A) sera démontrée impossible, puisque la somme d'an entier et d'une fraction proprement dite ne saurait être nulle.

Tel est le fond de la démonstration de M. Hilbert. Toute la difficulté est dans la détermination des entiers I et des fractions t. A cet effet, M. Hilbert introduit une intégrale définie, suggérée par les recherches do M. Ilcrmite,

où p désigne un nombre entier que l'on déterminera ultérieurement.

Multiplions successivement chaque terme de l'expression (A) par cette intégrale J et divisons par p!; l'équation (A) prendra la forme

en posant

V si]

P2= rtie

Pl4-P2=0

De la sorte, l'équation (A) se trouvera ramenée à la forme impossible (A'), si l'on démontre :

1° Que les coefficients de n, ai, «2, ..., «/i dans Pi sont des nombres entiers;

2° Que p peut être choisi tel que Pi soit différent de zéro et que Pj devienne aussi petit qu'on voudra.

Or, ces propriétés de Pi et de Pg peuvent être aisément établies.

En effet, d'abord, en vertu de la relation bien connue

zPe-^dz

l'intégrale J est un nombre entier divisible par p! et l'on reconnaît de même, en faisant successivement les substitutions 2 = 2'+!, 5 = 5'+ 2, . . . , z = z' -^ n, que

sont des nombres entiers divisibles par (p-i-i)! Il suit de là que Pi est un entier de la forme

Pi = rt(/z!)p+i' [mod(p -t-i)J.

Donc, si l'on choisit p tel que le second membre de cette congruenco ne soit pas divisible par p + f, Pi sera différent de zéro.

Quant à la condition imposée à Pa de devenir aussi petit qu'on voudra, elle est évidemment remplie en attribuant à p une valeur suffisamment grande : or cela est parfaitement compatible avec la condition de non-divisibilité de J par p-+-i. En effet, en vertu du théorème de la moyenne^ les intégrales peuvent être remplacées par des puissances de constantes à exposant p; et l'accroissement d'une puissance, pour des valeurs assez grandes de p, est toujours inférieur à celui de la factorielle qui se présente au dénominateur.

Impossibilité de Têquatio/i (B).

La preuve de l'impossibilité de l'équation (B) est entièrement analogue.

Au lieu de l'intégrale J, on emploiera l'intégrale

J'= ^,n(pM) r Z9[{Z - PO (2 - Po). . .(2 - ?m)]?^^e-'dz,

dans laquelle les p sont racines de l'équation algébrique Z> |3'« + ^1 p^-- -r-, . . -h 6,„ = o. L'intégrale se décomposera alors de la manière suivante :

où le chemin d'intégration devra être convenablement déterminé pour les valeurs complexes de p.

Transcendance de t.

L'impossibilité de l'équation (B) étant établie, on en déduit la transcendance de t: à l'aide des considérations suivantes :

Soit X une quantité algébrique quelconque, c'est-à-dire une racine d'une équation algébrique, et soient ri» Jî, ••• les autres racines de la môme équation; enfin employons les notations analogues pour .r. Si la courbe y = e^ possédait, outre le point (x = o,y = i), un autre

SUR l'impossibilité de la quadrature du cercle. 44 1

point algébrique, c'est-à-dire un point dont les deux coordonnées fussent des nombres algébriques, l'équation

(j-e-0(ji-^-^')(>.-e Cr — G""'- ) (Ji — e^O ( J2 — e"^)

devrait avoir lieu, ce qui est absurde puisque cette équation, lorsqu'on effectue les opérations indiquées, prend la forme (B) qui a été démontrée impossible. Donc : à l'exception du point (x = o, j = i), la courbe y = e^ n'a aucun point algébrique.

Considérons alors l'identité bien connue

qui est un cas particulier de la formule y = e^. Puisque dans cette identité j = i est algébrique, x = iT. est nécessairement transcendant

jm