SUR LA GÉOMÉTRIE RÉCENTE DU TRIANGLE

Définition des coordonnées.

1. Soit ABC (7%. i)Ie triangle fondamental, primitif ou de référence.

On fixe la position d'un point M ou d'une droite m par rapport au triangle ABC au moyen de certaines quantités qu'on appelle les coordonnées de ce point ou de cette droite.

Menons les perpendiculaires MX, MY, MZ sur BC, GA, AB, et désignons par X, j, z, les nombres qui mesurent les longueurs MX, MY, MZ, précédées du signe -+- ou du signe — , suivant que le point M est, par rapport à la droite sur laquelle on a abaissé la perpendiculaire, du môme côté que le sommet opposé du triangle ABC ou d'un côté différent.

Fi g. I.

Les quantités ^, y, z sont les coordonnées normales de M. Les côtés de ABC indéfiniment prolongés partagent le plan en sept régions, que nous avons numérotées o, i, 2, 3, i', 2', 3' ; les signes des coordonnées d'un point appartenant à l'une de ces régions sont respectivement

(' ) Dans cette Note, les renuois se rapportent au texte du Traité et à celui de la Note elle-même; pour éviter toute ambiguïté, nous ferons précéder ceux qui visent les numéros de cette dernière de la lettre N.

444 NOTE m.

Appelons a, b, c, S les côtés et l'aire de ABC. Si le point M est situé dans l'intérieur du triangle, S est la somme des aires des triangles MBC, MCA, MAB ; d'où

ax -v- bj -\- cz = 2S.

Cette équation subsiste dans toutes les positions de M. Le point M est déjà déterminé, quand on donne, soit deux des coordonnées ^, /, z\ soit trois quantités, /, m, n proportionnelles

a X, j, z; car, si 1 on connaît les rapports - = — , - = -, on peut construire C217) les droites AM, BM. Les quantités /, m, «, prennent également le nom de coordonnées normales de M ; .r, j, ^ sont alors les coordonnées normales absolues.

2. Soient a, p, y trois nombres proportionnels aux aires de.s triangles MBC, MCA, MAB, ces aires étant considérées comme positives ou négatives, suivant que le triangle correspondant et le triangle fondamental sont situés du même côté de leur base commune ou de part et d'autre. Désignons par Mi, M2, M3 les points de rencontre des droites AM, BM, CM avec BC, CA, AB. Les triangles ABM, ACM ont même base AM, et lôs distances de B et C à cette droite sont proportionnelles aux segments BMi et CMi. Par conséquent.

MiC

MaA"

d'où un moyen de déterminer M, quand on connaît a, p, y-

Les quantités «, 1^, Y O'^t ^'^çu le nom de coordonnées barfcentriqiies{ * ) de M. Le lecteur familiarisé avec les premières notions de Mécanique voit facilement que M est le centre de gravité de trois masses proportionnelles à a, p, Y et placées respectivement en A, B, C. Les relations suivantes sont souvent utiles :

MMi g

AM, ~ a + 8 + -

MM2 p

MMs

BM2 «h-Ph-y' ax by cz