POINTS COMPLÉMENTAIRES

4. Soient A', B', G' {fîg. 3), les milieux des côtés du triangle fondamental ABG. Les triangles ABG, A'B'C', sont homothétiques (361); le rapport de similitude est égal à 2, et le centre d'homothétie est le point de concours G des médianes AA', BB', GG'. Si M, M', sont deux points homologues do ces triangles, les droites MA et M'A', MB et M'B', MG et M' G' sont parallèles et dans le rapport 2 :i ; G divise la droite MM' dans le même rapport.

M' est appelé le point complémentaire de M ; M, le point anticomplémentaire de M'; A'B'G', le triangle complémentaire de ABG.

L'anticomplémentaire M" de M se construit en prolongeant MG de GM* = 2MG. II est facile de voir que M' est le milieu du segment MM" et que les points G, M* divisent harmoniquement le segment MM'. Les

(*) L'idée de ces points est due à M. E. Hain {Archiues de Grunert, i885) : elle a été généralisée par M. de Longchamps LJournal de Mathématiques élémentaires, 1886).

446 NOTE m.

parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés forment un triangle A'B"G*, anticomplémentaire de ABC.

Appelons a, p, y, Ifes Coordonnées barycentriques de M dans le triangle ABC; ce sont aussi celles de M' dans le triangle A'B'C. Soient F, J, les points de rencontre de AM' avec BG, B'G', et soit F' celui de A' M' avecB'G'; on a (N., 2)

IvrF^ PL

A'F' "a-h^+Y* d'où