Dans un même cercle ou dans des cercles égaux

1° Deux arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales; 7.° De deux arcs inégaux, le plus grand est sous-tendu par la plus grande corde {Jig. 78 ).

Fig. 73.

joient 0 et I deux cercles égaux :

1° Si l'arc AMB est égal à l'arc CND, les cordes AB et CD seront égales. En effet, portons le cercle I sur le cercle 0 de ïianière que le rayon IC coïncide avec son égal OA, I étant en 0 et C en A. Les circonférences coïncideront, l'arc CND tombera sur son égal AMB, et le point D viendra en B. La corde CD s'appliquera donc sur la corde AB, et, par suite, lui sera égale.

2° Si l'arc AMH est plus grand que l'arc CND, la corde AH sera plus grande que la corde CD. En effet, prenons à partir du point A, sur l'arc AMH, un arc AMB égal à l'arc CND; les cordes AB, CD, seront égales ( 1°), et il restera à démontrer que la corde AB est moindre que la corde AH. Or, l'arc AMB étant

moindre que l'arc AMH, le point B tombe entre les points A et H, et l'angle AOB est inférieur à l'angle AOH. Par suite, les deux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et OB = OH comme rayons d'un même cercle. Donc le côté AB opposé à l'angle AOB est moindre que le côlé AH opposé à l'angle AOH.

100. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe général du n*» 7 il suit que :

Réciproquement, dans un niême cercle ou dans des cercles égauTy à des cordes égales répondent, des arcs égaux y et à une plus grande corde répond un plus grand arc,

SCOLIE

101. Nous n'avons considéré dans ce qui précède que des arcs moindres qu'une demi-circonférence (98). Si l'on considérait des arcs plus grands qu'une demi-circonférence, pour la seconde partie du théorème ies conclusions seraient inverses : l'arc augmentant, la corde diminuerait au lieu de

croître.

THÉORÈME

102. Le diamètre AB, perpendiculaire sur une corde CD, divise cette corde elles deux arcs CBI), CXD, rj/u'elle sous-tend^ chacun en deux parties égales {Jîg. 74).

En effet, soient 0 le centre de la circonférence et I le point de rencontre du diamètre AB et de la corde Cl). Les rayons OC, OD, étant, par rapporta la perpendiculaire 01, deux obliques égales, s'écartent également du pied de cette perpendiculaire. On a donc CI = ID. En d'autres termes, la corde CD est divisée

LIVI12 II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 6l

au point I en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en particulier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes BG et BD sont donc égales, et, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d'autres termes, l'arc CBl) est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que l'arc CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A

Corollaires.

103. La droite AB satisfait, d'après cela, aux cinq conditions suivantes : elle passe par le centre 0, par le milieu I de !a corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que cette corde sous-tend; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer la droite AB ; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assujettie à deux des cinq conditions énoncées remplira nécessairement les trois autres. De là une série de propositions que le lecteur énoncera sans difficulté, et parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes :

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de chacun des arcs que cette corde sous-tend.

Le lieu géométrique des milieux d'an système de cordes parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction commune de ces cordes.

THÉORÈME

104-. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux : 1° Deux cordes égales sont également éloignées du centre; tP De deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloignée du centre [Jig. 75 ).

1* Soient les deux cordes égales AB, CD, et soient OE, OF, les perpendiculaires menées du centre 0 sur chacune d'elles. Les longueurs de ces perpendiculaires mesurent les dislances du centre à ces deux cordes, et il s'agit de démontrer que ces distances sont égales. Or les triangles rectangles EOB,

COF, sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale à un côté égal, savoir : OB = OC comme rayons d'un même cercle, et EB = CF comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E et F des perpendiculaires OE et OF sont les milieux des cordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du triangle OElî, est égal à OF, troisième côté du triangle OCF.

2° Soient les deux cordes inégales AG et CD. On suppose AG moindre que CD, et il faut démontrerquela perpendiculaire OH, menée du centre sur la première corde, est plus grande que la perpendiculaire OF. Par le point A menons une corde AB égale à CD. La distance OE du centre à cette corde sera égale à OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH. Or, la corde AG étant moindre que la corde AB, l'arc AG est inférieur à l'arc AB, et, par suite, le centre 0 du cercle et le milieu H de la corde AG sont situés de part et d'autre de la droite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre 0 et H, et Ton a OI<;OH. Mais, puisque OE est perpendiculaire sur AB, 01 est oblique, et l'on a