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105. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe général du n** 7 il résulte que :

Béciproquement, dans un même cercle ou dans des cercles égaux, deux cordes également éloignées du centre sont égales; et, de deux cordes inégalement éloignées du centre, la plus éloignée est la plus petite.

LIVIIE [I.

L4 CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

§ lî. — TANGENTE AU CERCLE. — POSITIONS MUTUELLES DE DEUX CIRCONFERENCES.

DÉFINITION

106. On nomme tangente au cercle toute droite CD [Jig. 76) qui n'a qu'un point commun avec la circonférence. Ce point commun A est appelé point de contact.

THÉORÈME

107. Toute perpendiculaire CD, àl'extrémité d'un ra/onOA, est tangente à la circonférence [ftg. 76).

Fig. 76.

^K esi li

■P En effet, en joignant au centre 0 un point quelconque B de CD, autre que le point A, on obtient une droite OB oblique sur CD, puisque OA est la perpendiculaire à CD qui passe par le point 0. Cette droite OB est donc plus grande que le rayon OA(42), et, par suite, le point B est extérieur au cercle (94). La droite CD ayant tous ses points hors du cercle, sauf le point A, qui est commun aux deux lignes, est donc une tangente à la circonférence.

108. Réciproquement, toute tangente CD à ta circonférence est perpendiculaire à l'extrémité du rafon OA qui aboutit au point de contact A [Jig. 76).

En effet, tout point B de la tangente CD, autre que le point A, étant extérieur au cercle, sa distance BO au centre est plus grande que le rayon (95). Donc le rayon OA est la plus courte de toutes les droites qu'on peut mener du centre à la t;nigente CD. En d'autres termes, OA est perpendiculaire sur

CD, et inversement, la tangente CD est perpendiculaire au point A sur le rayon OA.

Corollaires.

109. Par un point A d'une circonférence 0, on peut toujours mener une tangente à cette courbe, et l'on ne peut en mener qu'une,

110. Toute tangente est parallèle aux cordes que le diamètre mené au point de contact divise en deux parties égales (103).

Sgolii;s.

111. On peut considérer la tangente AC en un point A d'une circonférence (Jig. 77) comme la position limite que prend une sécante AB lorsque cette sécante tourne autour du point A de manière que le second point d'intersection B vienne se confondre avec le premier. Car, lorsque les deux points d'intersection B et A sont ainsi réunis en un seul, la droite AC n'a plus qu'un point commun avec la circonférence.

Cette nouvelle définition de la tangente est applicable à toutes les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre sa généralité cette définition a sur celle du n° lOG l'avantage de mettre en lumière l'intime corrélation de certains théorèmes qui sembleraient sans cela tout à fait distincts.

On dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe lorsque cette courbe ou cet arc tombe entièrement d'un même côté de chacune de ses tangentes. Le raisonnement du n° 107 prouve que la circonférence est convexe.

Nous avons vu qu'une droite quelconque ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points. Tout arc de courbe convexe jouit de la même propriété; car, si une droite coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier point seraient situés de part et d'autre de la tangente au point intermédiaire.

112. On appelle normale en un point d'une courbe la perpendiculaire élevée par ce point à la tangente correspondante.