LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

gles BAD, DAC, qui, d'après le premier cas, ont respeclivemeni pour mesure | BD el 1 DC. La somme de ces deux arcs, c'esl-à-dire la moitié de l'arc BDC, est donc la mesure de l'angle BAC.

3° Le centre 0 tombe en dehors de l'angle BAC [Jîg. 90). Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la différence des angles BAD, CAD, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure y BD et j CD; la différence de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BC, est donc la mesure de l'angle proposé BAC.

Corollaires.

130. Supposons {fig. 90) que, le côté AC restant fixe, la corde AB tourne autour du sommet A, de manière à devenir la tangente AT au point A; dans toutes les positions de la corde AB, l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de l'arc correspondant BC; donc, à la limite, l'angle TAC^ formé par une tangente AT et une corde AC issue du point de contact, a pour mesure la moitié de rare AC compris entre ses côtés.

On peut d'ailleurs démontrer ce théorème, indépendamment de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d'observer que l'angle TAC est l'excès de l'angle droit TAD sur l'angle inscrit CAD; sa mesure est donc l'excès de la moitié de la demi-circonférence ABD sur la moitié de l'arc CD, ou enfin la moitié de l'arc AC.

131. On appelle 5eg-me/i/ la portion de cercle comprise entre un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux segments ACB, AMB [fig* 91). On dit qu'«/i angle est inscrit

Fig. 91.

dans un segment lorsque son sommet est situé sur l'arc du

segment et que ses côtés passent par les extrémités de la corde sous-tendante. Ainsi les angles ACB, AEB, sont inscrits dans le segment ACB, et l'angle AMB est inscrit dans le segment AMB.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux; ainsi, les angles ACB, AEB, sont égaux comme ayant l'un et l'autre la moitié de l'arc AMB pour mesure.

Tout angle inscrit dans l'un des deux segments déterminés par une même corde est le supplément d'un angle quelconque inscrit dans l'autre segment. Ainsi les angles ACB, AMB, sont supplémentaires, car leurs mesures ~ arc AMB et j arc ACB forment en somme la moitié de la circonférence.

Tout angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle; car l'arc compris entre les côtés de l'angle est alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonférence.

On dit qu'w/z segment de cercle est capable d'un angle donné, lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l'angle considéré; ainsi le segment capable d'un angle droit est un demi cercle.

Fig. 92. Fig. 93.

THÉORÈME

13iJ. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l'intérieur du cercle, a pour mesure la demi-somme des arcs BC et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés prolongés {fig, ç^i).

En effet, en menant DC, on voit que l'angle BAC, extérieur au triangle ACD, est égal (73) à la somme des angles Inscrits ADG, ACD, qui ont respectivement pour mesure - BC et ; DE.