LIVRE II

LÀ CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

Corollaire.

12G. Il résulte de là (noie i) que, dans le même cercle ou dans des cercles égaux^ le rapport de deux angles au centre est égal au rapport des arcs qu'ils interceptent; en d'autres termes, l'angle au centre d'an cercle est proportionnel à l'arc correspondant.

THÉORÈME

127. Tout angle a la même mesure que l'arc qu'il intercepte sur une circonférence décrite de son sommet comme centre^ avec un rayon quelconque, pourvu que l'on prenne pour unité d'angle l'angle au centre qui intercepte sur cette circonférence l'arc choisi pour unité d'arc.

En effet, soient {Jig. 87) AOB l'angle à mesurer et AB l'arc qu'il intercepte sur la circonférence de rajon arbitraire OA; AC étant l'unité d'arc, l'angle correspondant AOG sera, par hypothèse, l'unité d'angle. On a (126)

AOBarcAB AOG arcAC

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure l'angle AOB, et le second- est égal au nombre qui mesure l'arc AB. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure l'arc AB.

Comme ce Ihcorème est d'un usage très-fréqueiil, on pré-

fère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte. D'abord on sous-eniend la condition relative à la correspondance des unités; puis on dit a pour mesure^ au lieu de a la même mesure que; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel: tout angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

SCOLIE

128. Lorsqu'on prend Tangle droit pour unité, l'arc unité est le quart de la circonférence ou le quadrant; car, si l'angle au centre AOB est droit {Jig. 87), les quatre angles AOB, BOC, COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOG, sont droits, et par suite égaux; les quatre arcs AB, BC, CD, DA, sont donc égaux entre eux, el chacun d'eux est le quart de la circonférence.

THÉORÈME

129. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Soit BAC un angle inscrit dans un cercle 0. Pour démontrer que cet angle a pour mesure la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés, il convient de distinguer trois cas :

1° Le centre 0 tombe sur l'un des côtés AC de l'angle BAC (Jig. 88). Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, les angles A et B sont égaux, et comme (73) leur somme équivaut à l'angle extérieur BOC, l'angle A est égal à la moitié de BOC; mais ce dernier angle, avant son sommet au cenire du cercle, a pour mesure l'arc BC. Donc l'angle proposé BAC a pour mesure la moitié de l'arc BC.

Fig. 89.

Fig. 90.

i° Le centre 0 tombe à riniérieur de l'angle BAC [fig. 89). Menons le diamètre AOD; l'anij^le BAC est la somme des an-