LIVRE II. — LA CIRCONFÉHENCE DE CERCLE

§ IV. — CONSTRUCTION DES ANGLES ET DES TRIANGLES. NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

136. Les deux principaux iiislrumenls employés dans lé. consli uciion graphique des figures sont la rè^le el le compas. Chacun sait comment on trace des lignes droites avec la règle ei des circonférences avec le compas.

On fait d'abord tout le dessin au crayon; on exécute ensuite la mise à l'encre à l'aide d'un lire-ligne à branches égales et que l'on tient perpendiculairement au plan du papier. Les données et les résultats sont représentés par un train plein ou continu; on représente par un trait pointillé ou interrompu \qs lignes de construction y c'est-à-dire les lignes qui servent h déduire les résultais des données.

En pratique, lorsqu'on détermine une droite par deux points, il convient que ces deux points ne soient pas trop voisins Tun de l'autre; sans cela, la moindre erreur sur la position de l'un d'eux entraînerait une erreur notable sur la direction de la droite.

De même, quand un point est déterminé par la rencontre de deux droites, il faut que ces droites ne se coupent pas sous un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux traits laisserait dans l'incertitude sur la véritable position du point de rencontre.

PROBLÈME

137. Trouver la plus grande commune mesure de deux ligner, droites.

Soient A et B deux droites comm.ensurahlt;s entre elles; la recherche de leur plus grande commune mesure, c'est-à-dire de la plus grande portion de droite qui soit une partie aliquote de chacune d'elles, repose sur les deux principes suivants :

i» Si^ est une partie aliquote de A, B est évidemment la plus grande commune mesure de h. et de J^;

2** Si A contient m fois B, plus un reste R moindre que B,

So GÉOMÈTftlE PLANE.

lapins grande commune mesure de A et de B est la même que celle de B et t/eR. On a, en effet,

A = mB+R;

or, toute commune mesure de A et de B, étant une partie aliquote de B, l'est aussi de mB, et, par suite, de A — wB ou de K. Inversement, toute commune mesure de B et de R, étant une partie aliquote de B, Test aussi de mB, et, par suite, de mB -i- R ou de A. Donc les communes mesures de A et de B sont les mêmes que celles de B et de R; et, en particulier, la plus grande commune mesure est la môme de pari et d'autre.

D'après cela, on portera B sur A autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, B sera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercfier la plus grande commune mesure de B et de R. On portera donc R sur B autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, Rsera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R', on sera ramené à chercher la plus grande commune mesure de R et de R'.

Il est aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arrivera à un reste qui sera une partie aliquote du précédeni. En effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la somme du diviseur et du reste; le reste est d'ailleurs moindre que le diviseur; donc le reste est inférieur à la moitié du dividende. On voit par là que, dans la recherche de la plus grande commune mesure de A et de B, le premier reste sera

inférieur à — ; le troisième reste sera moindre que la moiiié

du premier, et, par suite, inférieur à y ^ le cinquième reste sera moindre que la moitié du troisième, et, par suite, inférieur à -n- \ et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc passe

prolonger indéfiniment, car on tomberait sur un reste moindre que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est absurde, puisque, d'après la théorie précédente, la plus grande commune mesure doit diviser exactement les restes successifs.