LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

On arrivera donc à un resie qui sera une partie aliquote du précédent, el ce reste sera la plus grande commune mesure demandée.

138. IU:cipuoQUKME>T, si, en appliquant le procédé qu'on vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées feront commensurables entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune mesure.

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé successivement

on aura

et le rapport des deux droites A et B sera représenté par le

nombre fractionnaire ~t^* D'ailleurs R" étant la plus grande

commune mesure de R' et de R" sera, d'après ce qui précède,

la plus grande commune mesure de A et de B.

SCOLIE

i39. Il résulte de là que le procédé précédent, appliqué à deux droites incommensurables entre elles, conduira à une série d'opérations interminable.

Cette conclusion, absolument rigoureuse en théorie, ne se vérifie pas en pratique; cnr les restes cessent d'être appréciables au compas. Mais, s'il est impossible de constater de cette manière, ou plus généralement au moyen d'une opération mécanique quelconque, l'incommensurabilité de deux droites, on peut parfois, lorsque les droites résultent d'une construction bien définie, démontrer géométriquement leur incommensurabilité en s'appuyant sur la théorie qui précède et en cherchant la loi des restes successifs.

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi que la diagonale AC et le côté AB (Vun carré ABCD sont deux lignes incommensurables entre elles.

Le côté AB [Jig. 96) étant moindre que la diagonale AG et plus grand que la moitié AO de celle diagonale, on voit d'abord que, si l'on prend sur la diagonale AC la longueur AE égale à AB, le reste EC sera moindre que AB.

R. et DE G. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 6

Comparons maintenant ce reste ÊC au côté AB ou à son égal BC. Si l'on mène EF parallèle à BD, le triangle FEG, rectangle en E, sera isocèle, puisque l'angle EFG est égal à son correspondant OBC, et, par suite,

Fie- 9^-

à ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si l'on prend FG égale à EG, le reste GC sera moindre que EG. D'ailleurs, les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l'hypoténuse commune et un côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FE ou à EG ou à FG. Donc enfin le côlé BG contient deux fois EG, plus un reste GC moindre que EG.

Ce dernier résultat, énoncé d'une manière générale, prouve que dans tout triangle rectangle et isocèle le côlé contient deux fois la différence entre l'hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. Donc, à son tour, le côté EG contiendra deux fois GC, plus un nouveau reste moindre que GC, et ainsi de suite.

On voit par là que, si l'on applique aux droites AC et AB la règle prescrite au n** 137, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un nouveau reste moindre que celui-ci, de sorte que l'opération n'aura pas de fin. Les deux droites considérées sont donc incommensurables entre

elles.

PROBLÈME

140. Par un point B d'une droite BC, mener une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle

donné {fig, 97).

Fis- 97-

Du point A comme centre, avec une ouverture de comi)