Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC

On dit qu'un polygone est circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence; le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Cela posé, soit ABC [fig- 117) le triangle proposv^ dans lequel il faut inscrire un cercle. Supposons le problème résolu. La droite AC), qui joint le centre du cercle cherché au point de rencontre A des deux tangentes AD et AE, est, d'après le problème précédent, la bissectrice de l'angle A du triangle. On voit de même que le point 0 doit encore se trouver sur les bissectrices BO, CO, des angles B et G. D'après cela, on mènera deux de ces bissectrices, et de leur intersection 0 comme

Fig. 117.

centre, avec une ouverture de compas égale à la longueur commune des perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées de ce point sur les côtés, on décrira une circonférence qui touchera en D, E, F, les côtés du triangle donné.

R. et DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie). 7

GÉOaiÉTRIE TLANE.

SCOLIE

161. Il résulte de celle démonslralion que les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point. On voit d'une manière analogue que les bisseclrices des angles exiérieurs d'un triangle ABC [Jig. ii8) forment un second

Fig. Il 8.

triangle O'O'O'* dont les sommets sont situés sur les bissectrices des angles intérieurs. Chacun de ces sommets est le centre d'un cercle exinscrii, c'est-à-dire d'un cercle langent à l'un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés. Il existe donc, en général, quatre circonférences tangentes à trois droites données.

Si Ton désigne par a, b, c les côtés BC, GA, AB du triangle ABC, et par /? le demi-périmètre de ce triangle, on aura, pour les dislances du sommet A aux points où la droite AB louche les quatre cercles :

AM=p, En effet

A\)=p — a, Al=p — b, AK = p — c.

égalité

2/; = AB -+- BH 4- lie H- CA = AB -h BM + CN 4- CA

==:AM-l-AN=z:^AM

donne d'abord

AM=/j.