VI. — PROBLÈMES SUR LES TANGENTES

PROBLÈME

157. Mener par un point donné A une tangente à un cercle donné 0.

li faut distinguer deux cas :

1° Le point A [Jîg. ii5) est sur la circonférence. Il suffit

Fig. ii5. Fij. n6.

d'élever par le point A une perpendiculaire AT sur le rayon OA.

2° Le point A est hors du cercle {fig. ii6). Supposons le problème résolu; soient AB une tangente menée par A au cercle 0, et B son point de contact. La tangente étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon, du point de contact B on voit la droite AO sous un angle droit OBA. Donc (134) le point B est situé sur la circonférence décrite sur AO comme diamètre; ce point étant d'ailleurs sur la circonférence donnée 0, il est à l'intersection de ces deux circonférences, et l'on voit dès lors qu'il y a deux solutions.

Ainsi on décrira sur AO comme diamètre une circonférence, et, en joignant au point A les points B et B' où cette circonférence rencontre la proposée, on aura les deux tangentes BA et B'A.

COROLLAIIIE.

158. Les deux tangentes AB et AB' que l'on peut mener à un cercle 0 par un point extérieur A sont égales entre elles, et la droite qui joint ce point extérieur au centre du cercle divise en d^ux parties égales l'angle BAW des deux tangentes^ ainsi que l'angle BOB' des deux rayons OB et OB' qui aboutissent aux points de contact.

Livr.E II. — LA clllco^FÉRli^•CE r»E cercle.

En ellei, les deux iriangles rectangles OBA. OB' A sont égaux comme ayant l'hypoténuse AO commune et les côtés (le l'angle droit OB et OB' égaux entre eux comme rayons du cercle donné. On a donc

AB = AB', angle BAO = angle B'AO, angle BOA r=: angle B'O A.

SCOLIE

159. Pour mener à un cercle une tangente parallèle à une droite donnée, on mène le diamètre perpendiculaire à la droite donnée, et les extrémités de ce diamètre sont les points de contact des deux tangentes qui satisfont à la question.

PROBLÈME