OA' AT/
OA “ ~XiT “ b'
Ainsi, l’une quelconque CC' des sécantes coupe la première d’entre elles AA', en un point O situé entre A et À' et tel que
O A' __ a OA ~ V
Toutes les sécantes concourent donc en ce point O (179).
1° Si les deux séries de points A, B, C, D et A', B', C', 1)', sont disposées de la même manière [J îg. i58), on verra de même qu’une sécante quelconque CC' coupe la première AA' en un point O situé hors de AA' et tel que
OA' a OA = b *
Toutes les sécantes concourent donc aussi en ce point O ( 179 ).
210. Lorsque le rapport ~ est égal à l’unité, les parties correspondantes des deux parallèles sont égales entre elles, et les sécantes sont toutes parallèles. Le théorème énoncé subsiste donc, à la condition de regarder deux parallèles comme deux droites qui concourent à V infini.
THÉORÈME
217. Le lieu des points dont les distances à deux droites fixes ont un rapport donné est un système de deux droites passant par le point de concours des deux premières [fi g. 1 5g ) En efiêt, soient OU et OV les deux droites, et M un point
GÉOMÉTRIE PLANE
quelconque pris dans l'intérieur de l’angle VOU ou de son opposé par le sommet ;
Fig. i5cj.
Fig. iô9\
Menons par M les perpendiculaires MP et MO sur OU et OV et les parallèles MK et MI aux: mêmes droites. Quand le point M se déplace d’une manière quelconque dans l’angle UOV, le triangle MPI reste semblable à lui-même, puisque ses côtés
conservent leurs directions; le rapport
MI
MP
reste donc con¬
stant; il en est de même du rapport et, par suite, de leur
quotient Le heu des points M pour lesquels
MK MP
MP
reste constant est donc le même que celui des points pour
MI mi
lesquels ^ 77 ou est invariable; mais alors, le triangle MOI
1 MK 01 ‘O
restant semblable à lui-même, puisqu’il a un angle constant OIM compris entre deux côtés dont le rapport est fixe, l’angle MOI de ce triangle reste constant; donc le lieu du poinl M est une droite OL passant par 0.
De même, dans l’angle VOU' et dans son opposé par le sommet, le lieu est une droite OL' passant par 0.
SCOLIES
218. Lorsque le rapport donné est égal à l’unité, le lieu est l’ensemble des bissectrices des angles YOU, VOU' (53).
219. Au lieu de mesurer les distances du point M à OU et OV perpendiculairement à ces droites, on pourrait les estimer suivant des directions déterminées quelconques, la démonstration et, par suite, le théorème subsisteraient.
LES FIGURES SEMBLABLES
