LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. t/jL

A, B.C.D, qui a ses côtés égaux à ceux du quadrilatère A B Cl) cl disposés dans le même ordre; en vertu du théorème direct, le

rapport — sera égal au second membre de la relation (3); on

aura donc

or, si l’on avait x{^>x, il en résulterait B,;>B et I),>>î); d’ailleurs, on aurait aussi, en vertu de (4),/i et, par conséquent, A,>> A et C,^> C; la somme des angles du quadrilatère AtB|C|Di l’emporterait donc sur celle des angles du quadrilatère ABCD, ce qui est absurde. On prouverait de même qu’on ne peut avoir x,<^x; donc il y a égalité entre les diagonales x et x,, et, par suite, entre les quadrilatères ABCD, Ai C, 13, ; le quadrilatère ABCD est donc inscriptible.

Indiquons enfin les valeurs des trois diagonales en fonction des côtés :

(ad -4- bc) f ac -h bd) ( ac -f- bd ) ( ah -h cd )

al) 4- eu ad H- bc

( a b 4- cd > ( ad 4- bc)

ac 4- ou

on les obtient en divisant le produit des trois équations (?.) successivement par le carré de chacune d’elles.

Scolie.

*243. Le théorème du n° 24-0 est attribué à Ptolémée qui, dans son Almageste, l’a donné comme lemme pour la construction d'une table de cordes. Il offre, en effet, le moyen de calculer la corde u de la somme de deux arcs en fonction des cordes c et c' de ces arcs et du diamètre à du cercle; les deux cordes et le diamètre qui passe par leur point commun forment deux côtés contigus et une diagonale d’un quadrilatère inscrit don? l’autre diagonale est la corde inconnue u , tandis que les deux

autres côtés sont égaux à \/<P — c2, sJoi-~cl7\ de là, en venu du théorème de Ptolémée, la relation

qui permet de calculer u.

GÉOMÉTRIE l’LAMÎ.