LIVRE 111. — LES FIGURES SEMBLABLES. l5(J

ainsi de suite. Les polygones A'B'C'D'E', ABCDE, sont semblables, car (210) les triangles additifs OB' A', OA'E', OE'D , et les triangles soustractifs OB'C', OC'D', dont la réunion constitue le polygone A'B'C'D'E', sont respectivement semblables aux triangles DBA, OAE, CED, et aux triangles OBC, OCD, qui forment par leur assemblage le polygone ABCDE.

PROBLÈME

25k. Construire deux droites, connaissant leur somme et leur produit [fig. 179).

Soient BC la somme donnée et A une droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons le problème résolu, et soient BF et FC les deux droites demandées; si sur BC comme diamètre on décrit un demi-cercle, la perpendiculaire FE sera moyenne proportionnelle entre BF et FC (223), et par suite égale à A; la parallèle menée par E à BC interceptera donc une

Fig î 79. Fig. 180.

longueur BD égale à A sur la tangente en B. De celte analyse, résulte la construction suivante :

Sur BC comme diamètre, décrivez un demi-cercle ; au point B, élevez BD perpendiculaire sur BC et égale à A, menez DEE' parallèle à BC, et projetez en F et en F' sur BC les points E et E' où cette parallèle rencontre le cercle. Les deux droites cherchées seront BF et FC, ou, ce qui revient au même, BF' et FC.

Ainsi, le problème, quand il est possible, n’a qu’une solution. Pour qu’il soit possible, il faut et il suffit que la parallèle DEE' rencontre la demi-circonférence, c’est-à-dire que la droite BD ou A ne surpasse pas le rayon OE ou la moitié de BC. Lorsque la quantité A atteint sa valeur maximum jBC, la parallèle DEE' est tangente au demi-cercle, et les deux segments

GÉOMÉTRIE PLANE

de BC sont 0 B et OC. On voit par là que le produit de deux droites, dont la somme est constante, est maximum lorsque ces droites sont égales entre elles.

SCOLIE

256. En représentant par p et q la somme et le produit donnés, on a

EO = P»0 = CO = - ; FE — BD = \fq,

OF = \/m - EF’ = - q,

et, par suite,

BF = BO — OF = - — l — </,

CF - CO + OF = £ -t- UC - q.

PROBLÈME

256. Construire deux droites, connaissant leur différence et leur produit [fig- i8o).

Soient EF la différence donnée, et A la droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons le problème résolu et soient DE et DF les deux droites demandées. La tangente DD, menée du point D au cercle décrit sur EF comme diamètre, sera moyenne proportionnelle entre DE et DF (195), et par suite égale à A. El, comme cette tangente est perpendiculaire sur le diamètre BC qui est égal à la différence donnée EF, on est conduit à la construction suivante :

Sur les côtés d’un angle droit, prenez une longueur BD égale à A et une longueur BO égale à la moitié de la différence donnée; du point O comme centre avec OB pour rayon, j décrivez un cercle; puis menez DO qui coupe la circonférence i aux points E et F ; DE et DF seront les droites demandées.

Le problème est toujours possible et n’a qu’une solution.