livre i

LA LIGNE DROITE

Le côlé BC (fig. 24), opposé à l’angle droit A, reçoit le nom ôé hypoténuse.

On dit que deux triangles sont égaux lorsqu’on peut les appliquer l’un sur l’autre de manière qu’ils coïncident.

THÉORÈME

28. Dans un triangle isocèle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Soit ABC un triangle isocèle; par hypothèse le côté AB est égal au côté AC, et il faut démontrer que l’angle B est égal à l’angle C (, fig . 25).

Considérons un second triangle A'B'C', reproduction exacte du premier, et transportons-le sur ABC en le renversant de manière que A' tombe en A et C' en B, ce qui est possible puisque le côté A' C', reproduction de AC, doit, en vertu de l’hypothèse, être égal à AB. Les angles A et A' étant les mêmes, le côté A' B' prendra la direction AC, et comme A' B', reproduction de AB, est égal à AC, le point B' tombera en C; donc les deux triangles coïncideront ; par suite, l’angle C' coïncidant avec l’angle B et n’étant que la reproduction de l’angle C, on a B = C.

Fig. 25.

29. Réciproquement, si deux angles d’un triangle sont égaux , les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle.

Soit ABC un triangle dont les angles B et C sont égaux ; il faut démontrer que AB= AC.

Considérons un second triangle A'B'C', reproduction exacte du premier , et transporlons-le sur AEC, en le renversant , de manière que B' tombe en C et C' en B. Le côté C'B' coïncidera avec son égal BC. L’angle C' étant égal à l’angle C et par suite à l’angle B, si l’on fait tomber les deux triangles d’un même

iG

GÉOMÉTRIE PLANE

côté par rapport à UC, le côté C'A' prendra la direction BA, et le point A' tombera quelque part sur la droite indéfinie BA De meme, l’angle B' étant égal à l’angle B, et par suite à l’angle C, le côté B' A' prendra la direction CA, et le point A' tombera quelque part sur la droite indéfinie CA. Le point A', devant se trouver à la fois sur les deux droites BA et CA, tombera donc sur leur intersection A, et les deux triangles ABC, A' B'C', coïncideront. Puisque le côté A'B',qui est égal à AB, vient recouvrir exactement le côté AC, on en conclut que AB et AC sont égaux.

ScOLÏE.

30. Les démonstrations qui précèdent mettent en évidence la propriété propre au triangle isocèle d’être superposable à lui-même par retournement. Cette propriété est la clef des autres propriétés du triangle isocèle.

Ainsi ( fig . 26), dans ce retournement du triangle isocèle

Fig. 26.

BAC, B venant en C et C en B, le milieu I de BC retombe sur lui-même aussi bien que le sommet A. Par suite, l’angle AIC vient recouvrir son adjacent et supplémentaire A1B, et l’angle CAI son adjacent BAI. Donc, dans tout triangle isocèle BAC, la droite qui joint le sommet A au milieu I de la base BC est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales.

La droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes : elle passe par le sommet A, par le milieu I de la base BC, elle est perpendiculaire sur cette base, elle est bissectrice de l’angle au sommet.

Or, deux de ces quatre conditions suffisent pour déterminer la droite AI ; car on sait que par deux points on ne peut mener