LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

rail. C et D étant deux points consécutifs quelconques, nous nommerons angle de la corde CD avec la tangente au point C l’angle dont devrait tourner CD autour du point C supposé fixe pour que le point D vînt se confondre avec C. De même, l’angle de la corde CD avec la tangente au point D sera l’angle dont devrait tourner DC autour du point D supposé fixe pour que le point C vint se confondre avec D.

Supposons les points A, C, D, I, B, assez rapprochés pour que chacun des arcs partiels AC, CD, . . ., IB, soit convexe et que sa corde fasse des angles aigus avec les tangentes menées à ses deux extrémités. Dans ces conditions, nous donnerons à la ligne polygonale ACD...IB le nom de ligne brisée inscrite dans l’arc AB, et nous appellerons ligne brisée circonscrite correspondante la ligne AM'N'. . .l'B dont les côtés touchent l’arc AB aux sommets A, C, I), . . . , I, B, de la ligne brisée inscrite.

Cela posé, on ramène la notion de la longueur d’un arc de courbe à celle de la longueur d’une ligne droite, à l’aide de la définition suivante :

Lci longueur d' un arc de courbe est la limite vers laquelle tend le périmètre cV une ligne brisée inscrite dans cet arc , lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro.

Toutefois, pour justifier cette définition, il faut prouver que cette limite existe et est unique, c’est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro.

Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en deux parties.

Fig. 198.

i° Le rapport des périmètres d’une ligne brisée inscrite et de la ligne brisée circonscrite correspondante tend vers l’unité, quelle que

GÉOMÉTRIE PLANE

soit la loi suivant laquelle les côte's de la ligne inscrite tendent ver g zéro.

En effet, soient M, N, . . . , T, les projections des sommets M', N', .

T', de la ligne circonscrite sur les côtés AC, CD, IB, de la lignij inscrite. Puisque chacune de ces cordes fait des angles aig as avec le ij tangentes à ses extrémités, les points M, N, . . T, tombent respectif

vemenfc entre A et C, entre C et D,

entre I et B (4i). Le rappor

considéré est donc égal au suivent

AM' -4- M'Ch- CN'-i- .

A M MC - , CN -t .