LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

l’arc DÏE, on a

/ — d = IF et r — a — CG — 2 CF ;

il s’agit donc de prouver que IF est inférieur à la moitié de CF, c'està-dire que IF est moindre que CI. Or l’angle inscrit IDE et l’angle IDC formé par une tangente et une corde ont pour mesure, le premier la ; moitié de l’arc IE, le second la moitié de l’arc DI; ces angles sont donc égaux, et DI est la bissectrice de l’angle CDF. Donc enfin le rapport de IF à IC est égal à celui de la perpendiculaire DF à l’oblique DC, et, par (suite, moindre que 1.

Le même fait ressort des formules précédentes.

Nous désignerons par a" et r" l’apothème et le rayon du polygone isopérimètre de 4 n côtés, en sorte que 2 d'~ a! - b r\ r"- = a"r’.

Cela posé, on a, en vertu de (1"),

r — a 2 (y — d) 2 {rd — -a!'1) 2 (A2 — a!’1) % a" ’

or, les apothèmes allant en croisant, le dernier membre est plus petit

eue - •

289. On peut encore remarquer (D. André, Nouvelles Annales, 1874) ï (jue chacun des rapports

n t r tr

! est aussi inferieur à -•

Cela est évident pour le premier; car, en vertu de la formule (1") et de

i son analogue a" — d == I (r’ — d), il est égal au rapport ~ ~ que

nous venons de considérer.

Quant au second, on a

or, des trois facteurs qui figurent au dernier membre, les deux premiers

sont inférieurs à 1 et l’autre est moindre que 7 •

GÉOMÉTRIE PLANE

THÉORÈME

290. Etant donnés les périmètres p et P de deux polygones réguliers de n côtés, l’an inscrit. Vautre circonscrit à un même cercle, calculer les périmètres p' et P' des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 2 n côtés.

Le rapport de similitude ou celui des périmètres étant égal au rapport des apothèmes (269), on a ( fig . 197)

oc’