De là résultent les propositions suivantes

i° La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre.

Nous avons déjà démontré (38) qu’une portion de droite AB est moindre que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités A et B. Considérons maintenant un arc de courbe quelconque AMB; soient L sa longueur et L' la longueur d’une ligne brisée inscrite dans cet arc. L’inégalité (38)