THÉORIE DES PROJECTIONS
306. Soient X'X et Y' Y deux droites qui se coupent en un point 0 (fîg. '202); A étant un point quelconque du plan XOY, on nomme projection du point A sur X X le point a où cette droite rencontre la parai-
Fig. 202.
lèle à Y' Y menée par A. La droite A a reçoit le nom de projetante du point A et la droite X'X celui ô'axe de projection .
La projection est dite orthogonale ou oblique suivant que Y' Y est perpendiculaire ou oblique sur l’axe X'X.
On nomme projection d’un segment AB le segment ab qui a respectivement pour origine et pour extrémité les projections de l’origine et de l’extrémité du segment AB.
On nomme résultante de plusieurs segments consécutifs AB, BC, CD, DE (Jig. 202'), le segment AE qui a pour origine l’origine du premier, et pour extrémité l’extrémité du dernier; les segments AB, BC, CD, DE prennent le nom de composantes.
La projection de la résultante est la somme ( algébrique ) des projections des composantes ; en d’autres termes, on a, quel que soit le sens positif adopté pour X'X,
ae — ab -+- bc -f- cd -h de ,
c’est-à-diro
GÉOMÉTRIE PLAXE.
nb -h bc cd h- de ea — o.
En effet, en rapportant tous les segments qui figurent dans le premier membre à une origine commune, ce premier membre prend la forme
( oh — na) -f- (oc — ob) - h (od — oc) -h (oe — od) -h (oa — oc),
dans laquelle chaque terme est détruit par un terme égal et de signe contraire.
Tel est le théorème général des projections. La Trigonométrie permet de traduire cet énoncé en une relation entre les segments consécutifs et leurs inclinaisons sur l’axe de projection.
307. Pour arriver à ce but, nous commencerons par généraliser la propriété fondamentale des triangles rectilignes (1).
Assignons aux droites qui forment les côtés d’un triangle un sens positif choisi à volonté pour chacune d’elles; les segments et les angles rcla- 1 tifs à ces directions auront dès lors des signes bien déterminés, et l’on pourra énoncer le théorème suivant :
Dans tout triangle rectiligne ABC on a, en grandeur et en signe, les relations
AB BC CA
^ sin(a, p) ~ sin([3, 7) ~ sin(7, u)’
dans lesquelles a, (3, 7 désignent respectivement les directions positives des droites opposées aux sommets A, B, C.
En effet : observons d’abord que si les relations (1) sont vraies pour un choix particulier des directions positives, elles subsistent quand on change le sens positif de l’une des trois droites; car, si l’on change, par exemple, le sens positif de la droite opposée au sommet A, les facteurs BC, sin(a, (3), sin(7, a) changent de signe, tandis que les trois autres facteurs restent les mêmes. Pour achever la démonstration du théorème, il suffît donc de prouver qu’il a lieu pour un choix particulier des directions positives. Or, si l’on adopte pour sens positif de chaque droite le sens dans lequel elle est parcourue quand on décrit le contour du triangle en suivant l’ordre alphabétique, on a, en désignant comme à l’ordinaire, par a , b , r, A, B, C les valeurs absolues des côtés et des angles de ce triangle,
AB — h- c, BC = -+- a, CA = -f- b,
(a, (3) = TT — c, ((3, 7) = 77 — A, (7, a) = TZ — B,
(l) Nous supposons au lecteur la connaissance des premiers éléments de T rigon om et rie.
