LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

et les relations (i) se réduisent par suite aux formules

abc sinA ~ sinB sinC*

qui ont été démontrées en Trigonométrie.

Ajoutons que les angles (a, P), (p, 7), (7, a), satisfont (n° 30d) à la relation

Le groupe des formules (1) et(a) renferme toute la théorie des triangles rectilignes avec le degré de généralité qu’il convient de lui donner pour les recherches géométriques.

Cela posé, revenons aux projections :

308. La projection d’un segment sur un axe est égale au produit de ce segment par le rapport des sinus des angles que les directions positives de la base du segment et de l'axe font avec la direction positive des projetantes.

En effet, imaginons par le point 0 ( fig . 202) la parallèle L'OL à la base du segment proposé AB, et soient OX, OY, OL les directions positives de l’axe, des projetantes et de la base du segment. En menant par le point A une parallèle à X'X, on forme un triangle ABC dans lequel les directions positives sont fixées; et l’on a, d’après le numéro précédent,

AB CA

sinYOX sinLOY*

d’où Ton déduit, en observant que la projection ab du segment AB est égale en grandeur et en signe à AC,

ab = AB

sinLOY

sinXOY

formule conforme à l’énoncé.

Quand les projections sont orthogonales, on a

XOY = -, LOY - XOY - XOL = - — XOL 4- 2 2

par suite,

ab = AB sin ( XOLj = AB cos XOL.

Donc, la projection orthogonale d’un segment est égale au produit de ce segment par le cosinus de l’angle de la direction positive de l'axe avec La direction positive de la base du segment.

R. et de C. — Tr. de Géom. ( Ire Partie). *4

2 ro

GÉOMÉTRIE PLANE

II suffit, d’après cela, de remplacer dans le théorème des projections les projections des composantes et de la résultante par leurs expressions trigonométriques pour obtenir une relation entre les segments et les angles de la figure.

IL — Transversales dans le triangle.

309. Lorsqu’une transversale abc ( fig . 2o3 et ao3') rencontre les trois côtés d’un triangle ABC, regardés comme indéfinis, chacun des points d’intersections, b, c,est l’origine commune de deux segments ayant pour extrémités les extrémités du côté que l’on considère. Ainsi, sur AB, sont les

Fig. 2g3, Fig. ao3'.

deux segments c A et cB, sur BC les segments sB et sC, et sur CA les segments b C et b A. Les deux segments relatifs à un môme côté sont de signes contraires ou de même signe (303), suivant que la transversale coupe le côté lui-même ou son prolongement.

THÉORÈME

310. Quand un triangle ABC est coupé par une transversale abc [fig. ?.o‘: el >o3 ' ), il existe , entre les segments que cette droite détermine sur les côtés , la relation

^ «C bk cB

En effet, en menant CD parallèle à AB, on a, dans les triangles semj blablestfCD, «Bc,

a B cB

dc’

et, dans les triangles semblables 6 CD, bc A