LIVRE III

L’égalité manifeste des seconds membres des deux relations qui précèdent prouve l’égalité de leurs premiers membres.

On peut considérer la figure rectiligne A'B'C'D' comme la perspective ou projection concourante de la figure rectiligne ABCD, cette projection étant faite du centre O et suivant les rayons projetants OA, OB, OC, OD. De là, cet autre énoncé fort commode du théorème qui nous occupe : le rapport anharrno nique de quatre points en ligne droite est projectif. Si le centre O est à l’infini, les rayons OA, OB, OC, OD, sont parallèles, et le théorème subsiste.

Voici de ce théorème fondamental une démonstration un peu différente qui a l’avantage de fournir une expression trigonométrique utile de la valeur du rapport anharmonique

CA . DA CB * DB

Les triangles CAO, CBO donnent (307)

CA AO CB BQ

sinAOC ~ sin OC A 5 sinBOC “ sinOCB5

d’où, en divisant,

CA OA sinCOA.

CB ~ OB sin COB 5

on obtiendra de même

DA OA si n DO A DB “ ÔB sin DÔB 5

et par suite

CA . DA sinCOA . sin DO A ^

CB ‘ DB sin COB * sin DÔB

Le rapport anharmonique qui figure dans le premier membre ne dépend donc que des angles du faisceau et nullement de la position de la transversale L; il a donc la même valeur pour la transversale L'.