RAPPORTS ANHARMONIQUES D’UN FAISCEAU

321 . On nomme rapports anharmoniques d’un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainsi, (ABCD), (ACDB), . . . ( 318) sont des rapports anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, OP, OQ (fig. 208). On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau par la notation (O. ABCD), (O. ACDB),

GÉOMÉTRIE PLANE

Il résulte d'ailleurs du n° 318 que le rapport anharmonique d’un faisceau ne change pas de valeur lorsqu’on échange deux rayons quelconques, pourvu qu’on échange en même temps les deux autres; de sorte qu’on a, par exemple, (O.ABCD) = (O. CD AB).

11 résulte de la seconde démonstration donnée au numéro précédent que le rapport anharmonique (O.ABCD) du faisceau a pour expression

sinCOA # sinDOA sinCQB ’ sinDOB

I! est évident, d’après cela, que deux faisceaux qui ont respectivement les mêmes angles ont les mêmes rapports anharmoniques. Voici deux exemples importants de faisceaux de cette nature :

i° Si l’on joint un point quelconque O d’une circonférence à quatre points fixes A, B, C, D, de cette circonférence, le rapport anharmonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la position du point O sur la circonférence. Il résulte, en effet, des propriétés des angles inscrits que le point O se déplaçant, et les points A, B, C, D, restant fixes sur la circonférence, le faisceau conserve les mêmes angles. Ce rapport constant est ce qu’on appelle le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, du cercle .

2° Si l’on joint le centre d'un cercle aux points où quatre tangentes fixes sont coupées par une cinquième tangente, le rapport anharmonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. En effet, l’angle sous lequel on voit du centre la portion d’une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment égal à la moitié de l’angle des deux rayons qui aboutissent aux points de contact de ces tangentes fixes. Cet angle est donc constant, et par suite le faisceau considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la position de la cinquième tangente.

On voit par là que le rapport anharmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. Ce rapport est ce qu’on appelle le rapport anharmonique des quatre tangentes fixes.

Le rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle est égal au rapport anharmonique des quatre points de contact ; car le faisceau partant du centre du cercle, et aboutissant aux points d’intersection de ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires à ceux du faisceau partant du point de contact de la cinquième tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tangentes considérées (320. 71).