MÉTHODE DES POLAIRES RECIPROQUES

348. Un polygone quelconque ABCDE étant donné, si l’on prend, par rapport à un cercle quelconque O de son plan, les polaires A'B', B'C', C'D', D'E', E'A', de ses divers sommets, on obtient un second polygone A'B'C'D'E' dont les sommets A', B', G', D', E', sont les pôles des côtés EA, AB, BC, CD, DE, du premier. En effet, le sommet de l’angle G', par exemple, a pour polaire (343) la droite BG qui joint les pôles B et C des deux côtés G'B', C'D', de cet angle. Ainsi, on peut considérer le second polygone A'B'C'D'E' comme obtenu, soit en prenant les polaires des sommets du premier polygone, soit en prenant les pôles de ses côtés. Et inversement, si l’on cherchait les pôles des côtés ou les polaires des sommets de la seconde figure, on retomberait sur la première.

Fig. 222.

Ces deux polygones sont dits polaires réciproques par rapport au cercle O

GÉOMÉTRIE PLANE

qui reçoit ie nom de cercle directeur. Tels sont, par exemple, un polygone quelconque inscrit dans un cercle et le polygone circonscrit formé en menant des tangentes par les sommets du polygone inscrit

[fis- 222)*

Considérons en second lieu une courbe quelconque ABC [fig. 223). En prenant, par rapport à un cercle quelconque O situé dans son plan,

Fig. 223.

les pôles A', B', . . . , des diverses tangentes MA, MB,. . . , on obtient une nouvelle courbe A'B'C' dont les tangentes N'A', N'B',. . . sont les polaires des points A, B,. . . , de la première. En effet, le point d'intersection des tangentes MA et MB a pour polaire (343) la corde A'B'; et lorsque B tend vers A, la corde A'B' et le point M, qui sont toujours polaire et pôle, tendent respectivement vers la tangente A'N' et vers le point A. Ainsi, on peut considérer la seconde courbe A'B'C' comme obtenue, soit en prenant les pôles des tangentes, soit en prenant les polaires des points de la première courbe ABC. Dans la seconde manière d’opérer, la courbe A'B'C' est définie par ses tangentes successives dont on dit qu’elle est V enveloppe. Inversement, si l’on cherchait les pôles des tangentes ou les polaires des points de la seconde figure, on retomberait sur la première.

Ces deux courbes sont dites polaires réciproques par rapport au cercle directeur O. Le rayon du cercle directeur est d’ailleurs (341) moyen proportionnel entre les distances de son centre à un point quelconque de l’une des courbes et à la tangente correspondante de l’autre courbe. Ainsi, la polaire réciproque d’un cercle concentrique au cercle directeur est un autre cercle concentrique, et le rayon du cercle directeur est moyen proportionnel entre les rayons des deux autres cercles. En particulier, le cercle directeur est à lui-même sa polaire réciproque. Lorsque le cercle considéré n’est pas concentrique au cercle directeur, sa polaire réciproque n’est plus un cercle, comme nous le montrerons plus tard.

LES FIGURES SEMBLABLES