CH. CO = R

Donc la droite IH est la polaire du point 0. Il résulte de là : i°que la polaire IH d’un point quelconque 0 de la droite XY passe par le pôle I de cette droite ; 2° que le pôle I d’une droite quelconque XY passant par un point 0 est située sur la polaire IH de ce point.

343. Toute droite a pour pôle V intersection des polaires de deux de ses points. Tout point a pour polaire la droite qui joint les pôles de deux droites menées par ce point.

THÉORÈME

344. Si, par un point 0 pris dans le plan d'un cercle , on mène deux transversales OAB, OA'B', qu’on tire les droites AA' , BB', qui se coupent en M, et les droites AB', BA', qui se coupent en N, le lieu géométrique des points M et N, lorsqu’on fait varier les sécantes OAB, OA'B', est la polaire du point 0 [fig. 219 et 220).

Fig. 219. ' Fig. 220.

En effet, si l’on tire MN et si l’on nomme I et I' les points où cette droite coupe AB et A'B', on voit, en considérant le quadrilatère complet

GÉOMÉTRIE PLANE

MB'NA'BA, que les systèmes OATB', OAIB, sont harmoniques (313), et par suite les points M et N sont sur la polaire II' du point O.

Corollaires.

313. Ce théorème offre un moyen simple de construire avec la règle seule la polaire MN d’un point O par rapport au cercle.

316. Dans le triangle MNO, chaque côté est évidemment la polaire du sommet opposé. Donc, dans tout quadrilatère inscrit à un cercle , le point d’intersection des diagonales et les points de concours des côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Si la transversale OAB tend vers O A' B', les droites AA', BB' deviennent les tangentes au cercle en A' et en B'. Donc, si, par un point O pris dans le plan d’un cercle , on mène une sécante O A' B' et les tangentes A'T, B'T, aux points A' et B' où elle cou/)e le cercle , le lieu géométrique du point de concours T de ces tangentes , lorsque la transversale tourne autour du point O, est la polaire du point O.

Par suite, si l’on mène des tangentes au cercle par les sommets du quadrilatère inscrit ABB'A', on forme un quadrilatère circonscrit qui, apres avoir été complété, a pour diagonales les trois côtés indéfinis du tiiangle MNO. Donc, dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, les trois diagonales forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé. Enfin, en réunissant cette dernière propriété à la première et en ayant égard au théorème du n° 337, on arrive à cet énoncé général : Si don inscrit à un cercle un quadrilatère quelconque et qu’on lui en circonscrive un autre dont les côtés touchent le cercle aux sommets du premier : i° les diagonales intérieures des deux quadrilatères se coupent en un meme point et forment un faisceau harmonique ; 2° les troisièmes diagonales sont situées sur la même droite , et leurs extrémités forment une série de quatre points harmoniques ; 3° V intersection de deux diagonales quelconques est le pôle de l’une des trois autres.

PROBLÈME

347. Étant donnés deux points A et B sur une circonférence de centre O, trouver sur cette circonférence un point P tel, que les droites PA et PB déterminent sur un diamètre fixe DD' les segments OM, ON, égaux entre eux ( fig . 221).

Soit FIE la polaire du point T commun aux droites AB et DD', par rap port au cercle donné. Les quatre points T, B, I, A, étant harmoniques, le faisceau E.TBFA est harmonique ; par suite, il en est de mémo (321) du faisceau P.EBFA qui a pour centre l’extrémité P du diamètre FO.

LIVllE III.

LES FIGURES SEMBLABLES

Mais l’angle inscrit FEP étant droit, la droite DD' est parallèle au rayon Pii de ce faisceau ; cette droite est donc divisée en deux parties égales OM et ON par les trois autres rayons.

Fig. 221.

On voit qu’il y a deux points qui satisfont à la question; ce sont les points diamétralement opposés aux points communs à la circonférence et à la polaire du point T.