LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

Comme exemple, transformons cette proposition si connue : Dans tout triangle ABC, les hauteurs A «, B Z», Cr, se coupent au même point I.

Soient O le centre du cercle directeur, et A'B'C' le triangle polaire réciproque de ABC, A' étant le pôle de BC, B' celui de CA et C' celui de AB. Les trois hauteurs A a, B ô, Ce, se coupant au même point ï, leurs pôles a, 6, 7, doivent être sur une même droite, polaire de I. Or, le pôle a de A a doit se trouver d’une part sur B'C' polaire de A, et de l’autre sur la perpendiculaire menée par O à la droite OA', puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, l’angle «OA' doit être droit comme l’angle AaB des polaires A <7, BC, des points a et A'. On a donc ce théorème :

Si l’on joint un point fixe O pris arbitrairement dans le plan d’un triangle A'B'C' aux trois sommets A', B', C', les perpendiculaires menées par ce point O aux trois droites OA', OB', OC', ainsi obtenues, vont couper respectivement les cotés opposés B'C', C'A', A'B', en trois points a, 6, 7,

situés en ligne droite.

331. Quant aux relations segmentaires, on en transforme un assez grand nombre à l’aide des deux principes suivants :

i° Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite dans une figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre droites correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau et celui qu’on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle directeur ont respectivement leurs angles égaux, d’après le principe du n° 330.

AO

2° Le rapport des distances de deux points quelconques A et B au

AM

centre O du cercle directeur est égal au rapport des distances de chacun de ces points à la polaire de l’autre ( fig . 224). Car A'N étant, la

Fig.

— Ui

polaire do A et B'M celle de B, menons AC perpendiculaire sur OB et BD perpendiculaire sur OA ; nous aurons, en désignant par R le rayon du cercle directeur,