SO' R' SO ~ H
R' et R étant les rayons des deux cercles.
De même, le rapport
O' Ai OA
de deux rayons parallèles et de sens con¬
traires étant constant, les deux circonférences sont aussi homothétiques inverses, et elles ont un centre d’homothétie inverse Si situé sur la ligne des centres, de telle sorte qu’on ait
Si O ~ R *
La comparaison des deux relations précédentes donne
SO’ . SiO'- SO * Si O ~ 1 '
Donc les deux centres d’homot/ie'tie divisent harmoniquement la ligne des centres 00' des deux cercles.
Les tangentes communes extérieures passent par le centre d’homothétie directe, et les tangentes communes intérieures par le centre d’homothétie inverse. C’est sur cette propriété qu’est fondée la construction du n° 260.
Lorsque les deux cercles sont tangents, leur point de contact est un centre d’homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.
THÉORÈME
363. Deux systèmes P' et P", homothétiques à un troisième P, sont homothétiques entre eux ( fi g . 228 et 229).
Soient A un premier point du système P, et A' et A" ses points homologues dans les systèmes P' et P". Joignons le point A à un point quelconque M du système P, et joignons A' et A" aux points M' et M" homologues de M dans les systèmes P' et P". Les systèmes P' et P étant homothétiques, les droites A'M' et AM seront parallèles et dans un certain rapport K"; de môme, les droites A"M" et AM seront parallèles et dans le rapport K' d’homothétie des systèmes P" et P. Donc les droites
A'M' et A"M" sont parallèles, et dans le rapport constant Donc (360), les systèmes P' et P" sont homothétiques.
GÉOMÉTRIE PLANE
Corollaires.
364. Si K" = K', les systèmes P' et P" ont un rapport d’homothétie égal à l’unité; ils sont donc superposables. Il résulte de là que, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n’est pas nécessaire de faire varier le centre (354) : il suffit, en conservant le même centre, de faire varier K de zéro à l’infini.
365. Si P est homothétique direct avec chacun des systèmes P' et P", AM et A'M' sont de même sens, comme AM et A"M", et par suite aussi A'M' et A" M" ; de sorte que P' et P" sont homothétiques directs (/#• 228).
On verra de même que, si P" est homothétique inverse avec chacun des systèmes P et P', P et P' sont homothétiques directs (fig. 229).
Si P est homothétique direct avec l’un des systèmes P' et P", et homothétique inverse avec l’autre, P' et P" sont homothétiques inverses
Parmi les trois systèmes homothétiques ainsi formés, il y en a donc toujours un nombre impair (1 ou 3) dont l’homothétie est directe.
Dans tous les cas, les trois centres d’homothétie S, S', S", sont en ligne droite ( fi g . 228 et 229).
Fig. 228.
Al
En effet, la droite S'S", considérée comme appartenant au système P, a pour homologue dans le système P' cette droite elle-même, puisque (357) elle passe par le centre d’homothétie S' de P et de P'. Cette droite, considérée comme appartenant au système P, est aussi à elle-même son homologue dans le système P", puisqu’elle passe par S", centre d’homothétie de P et de P". Donc, cette droite S'S" (357) passe par le centre S d’homothétie des systèmes P' et P".
LES FIGURES SEMBLABLES
