SEMBLABLES

367. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des polygones semblables qui soit immédiatement applicable aux courbes. Voici comment on parvient à faire cette généralisation :

i° Deux polygones semblables P et P' étant donnés dans un plan, on peut toujours amener le polygone P' à avoir ses côtés parallèles aux côtés homologues de P {fi g. 280).

Deux cas peuvent se présenter, suivant que les deux polygones sont de même sens ou de sens opposés.

On dit que P et P' sont de même sens lorsque deux mobiles, astreints à décrire respectivement leurs contours ABCDE, A'B'C'D'E', en suivant l’ordre alphabétique, marchent tous les deux dans le sens du mouvement des aiguilles d’une montre ou tous les deux dans le sens opposé.

Fig. 23o.

Considérons alors deux côtés homologues quelconques CD et C'D' et faisons tourner le polygone P' autour du point C' d’un angle a égal à celui des deux côtés considérés; C'D' deviendra parallèle à CD, puis, comme les angles C'D'E', CDE sont égaux et que D'E' tombe par rap-

GÉOMÉTRIE PLANE

port à C'D' du même côté que DE par rapport à CD, le côté D'E' deviendra parallèle à DE, et ainsi de suite.

On dit que P et P' sont de sens opposés lorsque deux mobiles I astreints à décrire leurs contours respectifs ABCDE, AiBiCiDiEi, en suivant l'ordre alphabétique, marchent l’un dans le sens du mouvement des aiguilles d’une montre et l’autre dans le sens contraire. Dans ce cas, en prenant le symétrique de A^CiDiEi autour d’un axe quelconque XY du plan, c’est-à-dire en rabattant ce polygone A^CiDiEi autour de cet axe, on obtiendra évidemment un second polygone A'B'C'D’E', qui présentera, relativement au polygone ABCDE, la même disposition que dans le premier cas. Un rabattement suivi d’une rotation amènera donc alors le polygone AtBiCiDiE! à avoir ses côtés pa- I rallèles à ceux de ABCDE.

2° On a vu que deux polygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homothétiques (361). Deux polygones semblables peuvent j donc (i°) être rendus homothétiques; et réciproquement, la figure homothétique d’un polygone est un polygone semblable au premier (358). ;

Par suite, pour qu’un polygone P' soit semblable à un autre polv- | gone P, il faut et il suffit que ce polygone P' soit égal à l’un des homothétiques de P.

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. D’ailleurs, la définition de l’homothétie est immédiatement applicable j aux figures curvilignes (354). On est ainsi conduit à cette définition générale :

On dit qu 'une figure est semblable à une autre lorsqu’elle est égcde à l'une des figures homothétiques de cette autre.

On comprend d’après cela pourquoi on donne, en général, les noms de centres de similitude, d'axes de similitude et de rapport cle similitude aux centres, aux axes et au rapport d’homothétie.

368. On nomme pôle double de deux figures F et F' semblables et de ! meme sens le point du pian de ces deux figures qui est son propre ho- . mologue.

Il faut montrer qu’un tel point existe et qu’il est unique.

Rappelons d’abord qu’on appelle homologues deux points O et O' tels, ;

qu’on puisse les rattacher à deux côtés homologues AB et A'B' par deux

triangles semblables AOB, A'O'B'; et alors (209), les triangles qui rat-

tachent ces mêmes points à tout autre couple de côtés homologues ;

sont par là même semblables. Nous n’avons donc qu’à prendre à vo- J

lonté deux côtés homologues AB et A'B' des polygones F et F', et à ;

montrer qu’il existe un point O, et un seul, tel que les triangles AOB

et A' O B' soient semblables, c’est-à-dire que les angles IAO, IA' O soient

égaux, ainsi que les angles IBO, IB'O, I désignant l’intersection des ; i