LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

droites AB, A'B'. Or l’égalité des deux premiers angles impose seulement au point O (fig. 23oi) la condition de se trouver sur le cercle circonscrit au triangle IAA' ; l’égalité des deux autres angles indique à son tour, comme autre lieu géométrique du point O, le cercle circonscrit au triangle IBB'. Ces deux cercles, passant par I, ont un second point commun et un seul : c’est le point cherché O.

On donne parfois à ce point double O le nom de centre de rotation des deux figures semblables F et F'. C’est qu’en effet il suffit de faire

Fig. 280,.

tourner, d'un angle convenable, l’une des figures, F' par exemple, autour du point O, pour rendre les deux figures homothétiques, 0 étant i lui-mëme le centre d’homothétie. Cela résulte immédiatement de ce que les triangles OAB et O A'B', OAC et OxYC', . . ., étant semblables deux à deux, les côtés OA et OA', OB et OB', OC et OC', . . . sont proportionnels, et les angles AOA', BOB', COC', . . . sont égaux comme étant la somme ou la différence d’angles égaux.

Ainsi, on obtient la seconde figure A' B' G'... en joignant le point double 0 aux divers points A, B, C, . . . de la première, puis en faisant tourner les rayons OA, OB, OC, . . ., d’un même angle Y autour de O, tandis qu’on augmente ou qu’on diminue les rayons dans un même rapport K.

D'ailleurs, puisque la rotation V amène toute droite BC de la figure F à être parallèle à son homologue B'C' de la figure F', on voit que deux droites homologues quelconques BC, B'C', des deux figures font entre elles un angle égal à l’angle de rotation V.

Les triangles AOA', BOB', COC', ..., ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables , et l’on peut dire encore qu’on obtient les divers points A', B', C'. ... de la figure F', en construisant sur les droites OA, OB, OC, . . ., de la figure F des triangles semblables AOA', BOB', COC', ....

La construction donnée ci-dessus pour obtenir le point double de deux figures semblables est, en général, la plus simple; mais on peut,

GÉOMÉTRIE PLANE

dans certains cas, mettre à profit la propriété suivante : Le rapport des distances du point double à deux points homologues quelconques est égal au rapport de similitude des deux figures. Cette propriété est évidente, puisque les distances en question sont des droites homologues. Il en résulte que le cercle, lieu des points dont le rapport des distances à deux points homologues des deux figures est égal au rapport de similitude (187), passe par le point double.

Il convient encore de remarquer, en vue des applications, que, lorsque les points B et A' se confondent et, par suite, coïncident avec I {fg. 23oi), les cercles IAA', IBB', dont le second point d’intersection est le point double, doivent être remplacés par le cercle qui, passant par A et I, touche IB', et par le cercle qui , passant par B' et I , touche AI.

Deux cercles sont deux figures semblables; mais leur point double n’est déterminé que si l’on indique le point A' du second cercle que l’on veut considérer comme l’homologue d’un point A choisi arbitrairement sur le premier cercle. Si le point A' homologue de A n’est pas donné, on ne connaît qu’un seul couple de points homologues, celui qui est formé par les centres C et C' des deux cercles; et le point double n’est astreint alors qu’à être situé sur le cercle, lieu des points dont le rapport des distances aux centres C et C' est égal au rapport des rayons, c’est-à-dire sur le cercle ayant pour diamètre la droite qui joint les centres de similitude des cercles proposés (187, 362).

Pour deux droites indéfinies , considérées comme des figures semblables, le point double n’est déterminé que si l’on donne sur ces droites deux couples A et A', B et B', de points homologues, auquel cas le point double est le second point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles IAA', IBB', I désignant le point commun aux deux droites proposées.