LIVRE III

nière, de construire (2'i2), sur une droite égale à L et considérée comme homologue du côté X, une figure semblable à la figure cp.

On voit, sans autre explication, que ce procédé donnera immédiatement la solution de questions telles que celles-ci :

Construire un triangle , connaissant un angle , un côte et le rapport des deux autres côtés , ou bien deux angles et la longueur d'une droite { hauteur , médiane , bissectrice, . . .) devant être déterminée dès que le triangle l'est .

Construire un carré, connaissant la différence entre la diagonale et le côté ....

Voici un exemple un peu moins simple :

Fig. 23i. Fig. 232.

Soit proposé de construire un triangle ABC dont on donne les trois hauteurs a, 6, y ( fig. 231); a, 6, c, étant les côtés du triangle inconnu, et BD et AE étant les hauteurs ê et a, les triangles semblables CBD. CAE, donnent

On a de môme

et, par suite,

aa = — cy.

On voit par là que si, d’un point pris à volonté, on mène à un cercle trois sécantes respectivement égales aux trois hauteurs données a, 6, y, les autres segments, comptés sur les mêmes sécantes à partir de leur point commun, seront proportionnels aux côtés a, ô, c du triangle demandé. On construira donc un triangle A'BC' ayant pour côtés ces segments; ce triangle sera semblable au triangle cherché ABC et, pour avoir ce dernier triangle, il suffira de prendre sur la hauteur issue du sommet B une longueur BD = S, puis de mener par le point B la parallèle AC à A'C'.

Dans les questions que nous venons do traiter, la position absolue de

la figure demandée demeure arbitraire ; mais, dans un grand nombre de cas, la figure à construire doit, au contraire, avoir une position déterminée par rapport à des points ou à des droites données. C’est alors de l’une de ces conditions de situation qu’il faut faire abstraction, et la méthode s’appliquera eneore si les figures satisfaisant à l’ensemble des autres conditions données sont semblables et semblablement placées. Citons, comme exemple, un problème déjà résolu d’une autre façon (263) : Par un point P situé à V intérieur d’un angle XSY, tracer un cercle C tangent aux deux côtés de l'angle. En faisant abstraction de la condition imposée au cercle de passer par le point P, on tracera un cercle quelconque O inscrit dans l’angle XSY. Ce cercle O et le cercle demandé C, dont nous désignerons les centres par u> et y, auront le point S pour centre de similitude. La droite PS, par sa rencontre avec le cercle O, donnera donc l’homologue Q du point P; et, comme les rayons ojQ, CP doivent être parallèles (356), on aura le centre y du cercle inconnu, en prenant l’intersection de la droite Sto et de la parallèle menée par P à coQ.

Soit encore proposé d inscrire dans un triangle donné ABC un triangle dont les côtes soient parallèles à ceux d'un triangle donné de j (/g. 282).

Si l’on trace dans le triangle ABC une parallèle d'f à df\ puis par les points d' et/' des parallèles d'é,f'é, à de et à ej\ on formera un triangle d'f'e', homothétique au triangle cherché DFE, et le point A sera pour ces triangles un centre de similitude directe (356). La droite Ae' coupera donc BC en un point E qui sera l’un des sommets du triangle demandé, et il ne restera plus qu’à mener par ce point E des parallèles ED et EF, à ed et à ej\ et à joindre les points D et F.

370. A ce procédé s’en rattache un autre où l’on opère par renversement , c’est-à-dire qu’on renverse la question en prenant les données pour inconnues, et réciproquement. En traitant ce nouveau problème, on obtient une figure égale ou semblable à la figure cherchée, et, pour avoir la figure demandée dans la position voulue, il suffit d’en connaître une seule ligne.

Reprenons, par exemple, le problème précédent. On commencera par circonscrire au triangle def un triangle abc ayant scs côtés respectivement parallèles à ceux du triangle ABC. La figure ainsi formée sera semblable à la figure cherchée, et il suffira de partager le côté AB dans le rapport de db à da pour avoir le sommet D du triangle demandé.

Voici un second exemple de cette méthode indirecte :

Inscrire dans un (quadrilatère donne' ABCD un quadrilatère d b' c' d’ semblable à un autre quadrilatère donné A'B'C'D' (fig- 233).

La méthode inverse sera ici évidemment préférable à la méthode directe ,