AXES RADICAUX

372. Nous avons vu (193) que, si, par un point M pris à volonté dans le plan d'un cercle O, on mène à ce cercle une sécante arbitraire MAB, le produit MA. MB des distances de ce point aux deux intersections A et B de la sécante et de la circonférence est une quantité constante, c’est-à-dire indépendante de la direction de la sécante. Ce produit constant MA. MB, qui est évidemment positif lorsque le point M est extérieur au cercle, et négatif lorsque le point M est intérieur, porte, d'après Steiner, le nom de puissance du point M par rapport au cercle O ( fi g. 234 )•

Fig. 234.

Considérons en particulier celle des sécantes issues du point M qui passe par le centre O, et désignons par cl la distance MO et par r le rayon du cercle. Si le point M [est extérieur au cercle, les deux segments MA et MB, comptés sur cette sécante, sont de même signe, et, comme leurs valeurs absolues sont d — r et d-\-r, la puissance du point M a pour expression {d-\-r){d — r) ou d 2 — r2. Si le point M est intérieur, les deux segments MA et MB, comptés sur la sécante qui passe au centre, ont respectivement pour valeurs absolues r — d et r h- d] mais, comme ils sont de sens opposés, la puissance a pour expression — (r — d){r-\-d) — — ( r 2 — d2), c’est-à-dire encore d2- — r2. Ainsi, dans tous les cas, la puissance d’un point par rapport à un cercle est égale , en grandeur et en signe, à l’excès du carré de la distance de ce point au centre sur le carré du rayon.

Lorsque le point M est extérieur au cercle, sa puissance est égale au carré de la tangente MT menée au cercle par ce point.

Si le point M est intérieur, sa puissance est négative et égale en vedeur absolue au carré de la moitié de la corde CMD perpendiculaire à OM, c’est-à-dire de la corde minimum parmi celles qui passent par M.